Wetenschap der uitgebreidheden (lichamen, oppervlakken, lijnen). De begrippen zijn oorspronkelijk ontleend aan de voorwerpen, die in de natuur voorkomen, waarbij dan enkel werd gelet op grootte en vorm.
Een samenstel van punten, lijnen, oppervlakken wordt figuur genoemd. De eigenschappen der figuren worden door redeneering (bewijs) uit eenvoudiger eigenschappen afgeleid. Het punt van uitgang vormen daarbij eenige grondwaarheden (axioma's), die geen bewijs behoeven, omdat hun juistheid in de begrippen ligt opgesloten (b.v. het geheel is grooter dan elk zijner deelen) en eenige zoogenaamde postulaten, waarvan de juistheid moet worden aangenomen zonder dat het mogelijk is er een bewijs van te geven (b.v. door twee gegeven punten kan steeds een rechte lijn getrokken worden).Het oudste leerboek der meetkunde is afkomstig van Euklides (Alexandrië, ongeveer 300 v. Chr.); het bevat de grondslagen van het elementaire deel der meetkunde zooals deze, in hoofdzaak, nog thans op onze scholen wordt onderwezen. Men onderscheidt planimetrie, waar figuren in een zelfde vlak, en stereometrie, waar figuren in de ruimte behandeld worden.
In de eigenschappen, welke alleen op onderlinge ligging der deelen eener figuur betrekking hebben, valt een merkwaardig dualisme op te merken (wet der dualiteit). Dit beginsel rangschikt de eigenschappen der ruimte in paren, zoodat twee gepaarde eigenschappen bij consequente omwisseling der begrippen punt en dal; in elkaar overgaan. In de planimetrie vindt men een dergelijk beginsel, waarbij dan punt en rechte van plaats verwisselen.
Groote vermaardheid heeft het volgende postulaat van Euklides verkregen: als twee rechten door een derde zoodanig worden gesneden dat de binnenhoeken aan één kant der snijlijn samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken, dan zullen die twee rechten, als zij voldoende verlengd worden, elkaar aan dien kant snijden.
De Rus Lobatschewsky (1826), later de Hongaar Bolyai (1832), toonde aan, dat een stelsel van meetkundige waarheden kan verkregen worden onafhankelijk van dit postulaat. In deze (hyperbolische) meetkunde is b.v. de som der hoeken van een driehoek kleiner dan twee rechte hoeken; in de meetkunde van Euklides (parabolische m.) bedraagt die som juist twee rechte hoeken. Later toonde Riemann (1855) de mogelijkheid aan van een (elliptische) meetkunde, waar deze som grooter is dan twee rechte hoeken.
Analytische meetkunde
Hier worden de eigenschappen der figuren met behulp van de algebra behandeld. Haar grondslagen werden gelegd door den wijsgeer Descartes (1637) en zijn tijdgenoot. Fermat; het eerste systematische leerboek schreef de vermaarde raadpensionaris Johan de Witt (1659).
Wordt elk punt van een vlakke figuur bepaald door zijn afstanden (coördinaten) tot twee vaste rechten (assen), dan bestaat tusschen de coördinaten der punten van een rechte of kromme lijn een vergelijking; omgekeerd wijst nu elke vergelijking tusschen twee veranderlijke grootheden een lijn aan.
De behandeling van eenig vraagstuk bestaat nu uit drie deelen:
1) het omzetten der gegevens in vergelijkingen tusschen de coördinaten der gegeven en gevraagde punten,
2) de vervorming en combinatie der vergelijkingen,
3) het onderzoek naar de meetkundige beteekenis der uitkomst.
Voor het onderzoek van figuren der ruimte bepaalt men een punt door zijn afstanden tot drie onderling loodrechte vlakken. Een vergelijking tusschen de drie coördinaten stelt een oppervlak voor, twee vergelijkingen bepalen een (rechte of kromme) lijn.
Sommige eigenschappen worden doelmatiger behandeld met behulp van homogene coördinaten. In het vlak zijn de coördinaten van een punt dan evenredig met zijn afstanden tot de zijden van een vasten driehoek; in de ruimte met zijn afstanden tot vier vaste vlakken, die het coördinatenvierdak vormen. Nu worden de vergelijkingen der figuren homogeen, d. w. z. in eiken term is de som der exponenten der coördinaten even groot (zie Algebraïsche terminologie).
De dualiteitswet komt nu tot haar recht door het invoeren van de coördinaten eener rechte, die men evenredig stelt met haar afstanden tot de hoekpunten van den coördinatendriehoek. In de ruimte, als men een vlak aanwijst door zijn afstanden tot de hoekpunten van het coördinatenviervlak.
Onderstelt men de mogelijkheid van een ruimte, waarin vier door een punt getrokken assen twee aan twee loodrecht op elkaar staan, en denkt zich dan een punt in zulk een „ruimte” bepaald door vier coördinaten in de richtingen dier assen, dan kan men vergelijkingen tusschen vier veranderlijke grootheden interpreteeren door middel van figuren in zulk een ruimte van vier afmetingen. Uitbreiding van deze beschouwing voert tot de meerdimensionale meetkunde. Zij heeft den wiskundigen reeds vele diensten bewezen en zal dat, vrij zeker, blijven doen.
Beschrijvende meetkunde
Doel is het bepalen van ruimtefiguren naar ligging, grootte, gedaante door middel van afbeelding (projectie) op een of meer platte vlakken. Met behulp van het beeld kunnen eigenschappen van het origineel gevonden worden, en constructies worden uitgevoerd, welke overeenkomen met constructies in het origineel, en deze kunnen vervangen. Zij is voor den wiskundige een voortreffelijk middel tot verdere ontwikkeling van zijn voorstellingsvermogen.
De centrale projectie (perspectief, J. H. Lambert 1759) ontstaat als men door een vast punt (centrum, oog) rechte lijnen trekt naar de punten der af te beelden ruimtefiguur en deze met het teekenvlak (tafereel) snijdt.
Denkt men zich het centrum oneindig ver, dan worden de projecteerende stralen evenwijdig. Men komt dan tot de parallelprojectie (verlichting door evenwijdige lichtstralen). Een bijzonder geval vormt de orthogonale projectie (G. Monge 1795, lichtstralen loodrecht op het projectievlak); hier neemt men gewoonlijk twee onderling loodrechte tafereelen en vereenigt deze door wenteling om hun snijlijn tot één teekenvlak.
De methoden der beschrijvende meetkunde leiden tot het beschouwen van de eigenschappen der figuren, welke tegen projectie bestand zijn, en daarmede tot de z.g. projectieve meetkunde.
