Logarithme. - De logarithme van een getal is de exponent van de macht, waartoe een zeker getal (grondtal) moet verheven worden om het eerste getal tot uitkomst te krijgen. De logarithme van een getal g duidt men aan door log g. Zoo is dus, als 3 het grondtal is, log g = 2, log 27 = 3, log 81 = 4, omdat 32 = 9, 33 = 27 en 34 = 81 is. Daar men voor elke waarde van a heeft a° = 1 en a1 = a, is voor elk grondtal de logarithme van de eenheid gelijk aan 0 en de logarithme van het grondtal gelijk aan 1. In ’t algemeen: wanneer het grondtal a verheven tot de macht p het getal g oplevert, dus wanneer g = ap, heet p de logarithme van g bij ’t grondtal a, geschreven p = alog g. In den regel gebruikt men als grondtal het getal 10; de aldus verkregen logarithmen heeten „logarithmen van Briggs” naar den Engelschen wiskundige Henry Briggs, die het eerst het grondtal 10 voorstelde. Uit de definitie van de logarithme volgt, dat, als g1 = ap., g2 = ap2, voor ’t product geldt g1 x g2 = ap1 + p2, dus alog (g1 x g2) = p1 + p2 = alog g1 + alog g2.
Door de rekenwijze met logarithmen kunnen derhalve vermenigvuldigingen omgezet worden in optellingen, deelingen in aftrekkingen, machtsverheffingen in vermenigvuldigingen (met de exponent) enz. Daardoor wordt het rekenen met groote getallen aanmerkelijk vereenvoudigd. Men laat bij het gebruik van ’t grondtal 10 gemakshalve de aanwijzing van het grondtal weg, dus log 3 = 10 log 3. De logarithmen bij het grondtal 10 hebben de eigenschap, dat 2 getallen, die uit dezelfde reeks cijfers bestaan en alleen verschillen in de betrekkelijke waarde (bijv. in de plaats van het decimaalteeken: 317 en 3,17) logarithmen hebben, die een geheel getal verschillen, zoodat ze dezelfde reeks cijfers achter het decimaalteeken hebben. Bijv. log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 0,1 = -1..., log 2 = 0,30103, log 20 = 1,30103 ..., log 0,02 = 0,30103 2, log 6187 = 3,79148 . . ., log 6187000 = 6,79148 ...., log 61,87 = 1,79148 ..., enz. De reeks cijfers achter ’t decimaalteeken heet mantisse; het getal voor ’t decimaalteeken heet wijzer. Is het getal kleiner dan 1, dan is de logarithme negatief; bijv. log 0,2 = log 5 = -0,69897...., men schrijft echter liever log 0,2 = log 2 1 = 0,30103 -1 om dezelfde mantisse te kunnen houden. In den regel schrijft men zelfs log 0,2 = 9,30103 10; maar men vermenigvuldigt eerst het getal g met 1010 en bepaalt daarvan de logarithme; deze laatste wordt dan met 10 verminderd, door er -10 achter te zetten en de aftrekking onuitgevoerd te laten. Bijv. log 0,006187 = 7,79148..... 10.
Bij ’t grondtal 10 zijn de logarithmen van alle meetbare getallen behalve de geheele machten van 10, onmeetbare, ja zelfs transcendente getallen. Ze worden dus voorgesteld door oneindig voortloopende tiendeelige breuken. In de praktijk moet men dus werken met benaderde waarden. Men kan zich tevreden stellen met 3 decimalen, met 4, met 5,... met 10 decimalen, enz. In den regel gebruikt men 5 decimalen, voor ruwer werk zijn 4 decimalen voldoende; fijner sterrekundig rekenwerk eischt 6 of zelfs 7 decimalen. — De logarithmen zijn getabuleerd in tafels. De eerste logarithmentafel is in 1628 verschenen te Gouda bij Adriaan Vlacq; deze omvatte de logarithmen van alle getallen van 1 tot 100000 in 14 decimalen. — Van groot belang voor de trigonometrie zijn de logarithmen der goniometrische verhoudingen sinus, cosinus, tangens, die men dan ook in bijna alle logarithmentafels aantreft. Daar sinus en cosinus steeds kleiner zijn dan 1 en hun logarithmen dus negatief zijn, vindt men ze steeds met den wijzer 9 (of 8), bijv. log sin 13° = 9,35209 (waarbij dan moet gevoegd worden: 10). De tafel worden zoover berekend, dat men zichzelf verder kan redden met rechtlijnige evenredige interpolatie: bijv. men vindt direct opgegeven: log 3561 = 3,55157 en log 3562 = 3,55169; wil men nu de logarithme hebben van een getal tusschen 3561 en 3562, dus bijv. van 3561,4, dan neemt men van het verschil der logarithmen, zijnde 0,00012, het 0,4 deel, dus 0,000048, afgerond tot 0,00005, zoodat log 3561,4 = 3,55157 + 0,00005 = 3,55162.
Ook bij de logarithmen der goniometrische verhoudingen interpoleert men op dergelijke wijze. In de logarithmentafel vindt men ook wel de z. g. „logarithmen van Gauss”, d. z. de logarithmen van 1 + x, als men kent log x; men heeft dus getabuleerd volgens gelijkmatig opklimmende waarden van log x en vindt dan log (1 + x); deze logarithmen van Gauss dienen om de optelling van logarithmen geschikt te maken: log (a + b) = log {(a1 + a/b)} = log a + log (1 + b/a).| In de goniometrie en trigonometrie legt men zich in ’t bijzonder toe op het pasklaar maken van de formules voor het gebruik van logarithmen; d. w. z. men verandert zooveel mogelijk sommen in producten. — De logarithmen zijn uitgevonden door John. Napier (1614). Napier ging uit van een grondtal, dat zeer dicht bij 1 lag, n. 1.1 0,0000001 = 0,9999999. Kiest men een grondtal, dat zeer weinig (ε) boven 1 ligt, dus 1 + ε, dan moet men om bijv. 2 te krijgen 1 + ε tot een des te hoogere macht verheffen, naarmate ε kleiner is; eigenlijk is er in ’t algemeen geen enkele exponent n, die maakt, dat (1 + ε)n = 2, maar men kan wèl het getal 2 insluiten tusschen 2 getallen (1 + ε)n en (1 + ε)n+1, die zeer weinig, n.l. ε x (1 + ε)n verschillen.
Het getal n is des te grooter naarmate ε kleiner wordt gekozen; als men dus stelt n = p/ε, dan zal p een normaal getal blijven: bijv. bij ε = 0,000001 is n = 1000000 x p; het getal p is nu een tiendeelige breuk met 6 decimalen. Men heeft zoodoende dat 2 in ligt tusschen (1 + ε)p/ε en (1 + ε)p/ε +1; een voldoende benadering is dan (1 + ε)p/ε , en wel des te scherper, naarmate ε kleiner is. Stelt men nu ε = 1/m, dan heeft men 2 = (1 + 1/m)mp = [(1 + )m]p; het is dus alsof men het getal (1 + 1/m)m verheven heeft tot de (gebroken) macht p. Laat men ε onbepaald afnemen, of, w. h. z. is, m onbepaald toenemen, dan nadert het grondtal (1 + 1/m)m tot een zekere grenswaarde, n.l.:1 + 1 + 1/2 + 1/2x3 + 1/2x3x4 + … = 2,718281828459045 ...; deze grenswaarde wordt door het symbool e aangeduid en heet het grondtal der „logarithmen van Napier”, of de „natuurlijke logarithmen”. Wil men dus zoo lang mogelijk nog vast houden aan eigenlijke exponenten, d.i. aan positief geheele exponenten, dan komt men, in navolging van Napier, „natuurlijkerwijze” tot het invoeren van het grondtal e = Lim (1 + 1/m)m = 2,71828 ... Napier is uitgegaan van 1 ε, omdat m = ∞ hij de de logarithmen wilde hebben van sinussen en cosinussen, dus van getallen kleiner dan 1. Napier heeft zijn ontdekking beschreven in een werk, getiteld: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). — De natuurlijke logarithmen worden veelal aangeduid door l of ln, dus l7 = In 7 = elog 7. Daar g = e elog + 10log g, geldt: 10log g = 10log (e elog g) = elog g x 10log e. 10log e = M = 0,434295 ... heet de modulus van de logarithmen van het grondtal 10. Men krijgt dus de logarithmen van ’t grondtal 10 (logarithmen van Briggs) door de natuurlijke logarithmen met M te vermenigvuldigen; omgekeerd kan men de natuurlijke logarithmen verkrijgen door de logarithmen van Briggs door M te deelen, d. w. z. met 1/M = 2,3025851... te vermenigvuldigen.
