Getal - (wisk.). Uitgaande van het intuïtiefaanwezige begrip„tellen”: éen, éenen éenis twee,twee en éenis drie,.... verkrijgt men de z.g. rij dernatuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, Ter bekorting stelt men deze getallen voor door afzonder-lijke teekens, „cijfers”. Dank zij de regelmaatvan het tellen kan men zich echter beperkentot een kleine reeks cijfers, door van elk getal, dateen zeker aangenomen getal (grondtal) te bovengaat, dat grondtal af te trekken, en wel zoo dik-wijls, totdat het overblijvende getal kleiner isdan het grondtal. Het aantal malen, dat hetgrondtal van het gegeven getal is afgenomen,wordt dan vóór de rest geschreven (zoo wordt hetgetal twaalf bij ’t grondtal tien geschreven als12, bij ’t grondtal acht als 14, enz.); m.a.w.het gegeven getal wordt door het grondtal ge-deeld en het quotiënt wordt vóór de rest ge-plaatst. Is dit quotiënt zelf ook weer grooterdan ’t grondtal (de deeler), dan wordt dit opdezelfde wijze behandeld; het getal wordt danzoodoende voorgesteld door een groep van 3 ofvan meer cijfers.
Kiest men het getal n als grond-tal, dan wordt het getal geschreven in het w-talligtalstelsel. Zoo wordt het getal, dat in hettientallig stelsel voorgesteld wordt door 235,in ’t twaalftallig stelsel geschreven als 177( = 1 X 122 +7 x 12 + 7), iri ’t zeventalligstelsel als 454 (= 4 x 72 + 6 x 7 + 4). Dewaarde van de eenheden op de verschillendeplaatsen van achteren naar voren is dus 1, n,w2, .... Is een der plaatsen niet vertegenwoor-digd, dan plaatst men daar het teeken 0, zoobeteekent 705 in ’t achttallig stelsel 7 x 8! + 5(= 453 in ’t tientallig st.). Tegenwoordig is hettientallig stelsel algemeen in gebruik voorde voorstelling der getallen. — Doordat de deelingin ’t algemeen niet uitgevoerd kan worden,wanneer men zich tot de natuurlijke getallenbepaalt, heeft men gebroken getallen of breu-ken ingevoerd om de uitkomst dier onuitvoer-bare deelingen voor te stellen. Bij deze voorstel-lingswijze wordt de deeler onder het deeltal ge-schreven met een „breukstreep” er tusschen.Bijv.: 3 gedeeld door 5 geeft a/5. Men beschouwthierbij in gedachte de eenheid als een verzame-ling van zooveel kleinere (onderling gelijk.) een-heden als door den deeler wordt aangegeven.Deze nieuwe eenheden krijgen een naam enbepalen zoodoende ook den naam van het ge-broken getal. Bijv. bij de deeling door 3 heetendie eenheden: „derde deelen”; de deeling van2 door 3 geeft dan 2 derde deelen. Vandaar datmen het onderste getal van de breuk aanduidtmet noemer, het bovenste met teller. Is deteller kleiner, dan de noemer, dan heet de breukecht, is hij groóter dan onecht.
In ’tlaatstegeval kan men de breuk beschouwen als de somvan een aantal gewone eenheden en een echtebreuk. De natuurlijke, uit gewone eenheden opge-bouwde, getallen heeten dienovereenkomstig ge-heele getallen. Een uit de som van een geheel ge-tal en een echte breuk bestaand getal heet ge-mengd getal. Schrijft men een opgaande deeling(bijv. 6 door 3) toch in den vorm van een breuk(Vi), dan heet deze breuk o ne i g e nl ij k; ze kan ver-vangen worden door een geheel getal. — Evenalsde natuurlijke getallen kan men de breukenrangschikken naar hun grootte; ze krijgen bijdie rangschikking hun plaats tusschen de ge-heele getallen. Hoe grooter de noemer is, des tedichter liggen de opeenvolgende breuken vandien noemer bij elkaar.
Door den noemer grootgenoeg te kiezen, kan men de breuken zoo dichtop elkaar dringen als men wil. Men drukt dituit door te zeggen, dat ze de tusschenruimtentusschen de geheele getallen „overal-dicht”(pantachisch) opvullen. — Hoezeer de ver-zameling van alle breuken verschillend is van dieder geheele getallen, ze heeft toch met de ver-zameling der geheele getallen gemeen, dat ze„aftelbaar” is, d.w.z., dat men een rangschikkingswet kan aangeven, waardoor iedere breukhaar „nummer” krijgt, zoodat men door ditnummeren een toevoeging éen aan éen krijgttusschen de geheele getallen en de breuken. Dierangschikkingswet kan bijv. daarin bestaan,dat men de breuken groepeert naar de som vanteller en noemer. Bij elke voorgeschreven sombehoort dan een eindig aantal breuken, die mennaar opklimmende tellers kan rangschikken,waarbij men dan die breuken, die tot reedsvroeger verkregen breuken herleidbaar zijn, kanweglaten. Bijv. som = 3 .... */„ som = 4 ....
Vs, som =5 V«. Va. Valsom = 6 V».som = 7 V». Vs. Vs. Va. Va enz. In plaats van met de genoemde „gewone” breuken werkt menook menigmaal met z.g. „tiendeelige” breuken,d.z. breuken, waarvan de noemer een machtvan tien is. Een breuk, welker noemer niet uit-sluitend de factoren 2 en 5 bevat, kan niet vol-komen nauwkeurig als tiendeelige breuk wordengeschreven; men kan ze echter wel door eentiendeelige breuk benaderen, hetgeen voor deberekening dikwijls voldoende is. De tiendeeligebreuken hebben het voordeel, dat haar schrijf-wijze zich aansluit bij die der geheele getallen;de regel voor de schrijfwijze in ’t tientallig stelselwordt hierbij a.h.w. achterwaarts voortgezet.In ’t bijzonder komt men bij de deeling vanzelftot een tiendeelige breuk. Wil men andere gewo-ne breuken door deeling in den vorm brengen vantiendeelige breuken dan gaat de deeling nooit op;de quotientcijfers vertoonen echter de eigenaar-digheid, dat een bepaalde groep ervan regel-matig herhaald wordt:
zoo geeft 1 : 3 =0,3333 : 11 =0,36363636...., 6 : 7 =0,857142857142...., 11 : 12 =0,9166666 : 55 = 0,2363636 Deze oneindig ver doorloopende tiendeeligebreuken heeten zoodoende repeteerende breu-ken. — De onuitvoerbaarheid van de aftrekking,wanneer de aftekker grooter is dan ’t aftrektal,heeft geleid tot het invoeren van negatievegetallen, als voorstelling van een onuitgevoerdeaftrekking; daarbij wordt het verschil, dat menzou krijgen door den aftrekker met het aftrektalte verminderen, geschreven met een minteeken(—) ervoor, dus 3 — 5 = — 2. Uit 8 — 5 = 3,7-5 = 2, 6-5=1, 5-5=0, 4-5 = -13 — 5 = — 2, 2—5= — 3, enz. blijkt, dat dereeks der negatieve getallen als voortzetting kangelden van de reeks der natuurlijke getallen,waarbij dan tusschen 1 en — 1 het element 0moet geplaatst worden. In tegenstelling tot denegatieve getallen heeten de gewone getallenpositieve getallen; men kan ze desgewenschtvoorzien van een plusteeken (+), dus 5 — 3 =+ 2. Men kan tusschen de negatieve geheelegetallen ook weer breuken inlasschen. Allepositieve' en negatieve, geheele en gebrokengetallen (0 meegerekend) heeten samenmeetbare of rationale getallen. — Past menop een meetbaar getal een of meer der 4 hoofd-bewerkingen der rekenkunde toe (optelling,aftrekking, vermenigvuldiging, deeling) dankrijgt men steeds weer een meetbaar getal. Demeetbare getallen vormen in dezen zin een geslo-ten stelsel, een z.g. „getallenlichaam”. — Terwijlde 4 hoofdbewerkingen het lichaam der rationalegetallen niet overschrijden, zijn er andere reken-kundige bewerkingen, die buiten dat lichaamvoeren. Bijv. de vierkantsworteltrekking is in ’talgemeen niet uitvoerbaar binnen dat lichaam.Zoo is er geen enkel meetbaar getal, dat beant-woordt aan \Z3 , d.w.z. welks 2e macht 3 is.Men kan wel een meetbaar getal zoeken, welks2e macht zeer dicht bij het gegeven getal (3)ligt, zelfs zóo dicht als men verkiest; in denregel bepaalt men tiendeelige breuken, wier2e macht zoo weinig als men wil van het gegevengetal verschilt. Deze tiendeelige breuken ver-krijgt men door de bewerking der vierkantswor-teltrekking.
De tweedemachtswortels der meet-bare getallen krijgen op deze wijze ook een plaatstusschen de meetbare getallen, die op zichzelfreeds onbepaald dicht bij elkaar liggen. Zoo ookde 3e, 4e .... machtswortels der onmeetbare ge-tallen. Al deze wortels zijn onmeetbare ge-tallen. Ze worden gedefinieerd uit vergelijkingenvan den vorm ax2 = b, ax3 = b, ax* = 5, enz.waarin a en 6 geheele getallen zijn (Bijv. ty3/sis wortel van 'Ax3 = 5). Men kan nu de wijzevan ontstaan algemeener maken, en wel dooralle oplossingen te beschouwen van alle algebraï-sche vergelijkingen met geheele coëfficiënten:
a0x» + a^xn—1+ aax»—2-f +a»_ix+a«=0 (a0, eq, .... a»geheel) bijv. 3*1—7xs-|-2x —10=0.Voor zoover deze te rangschikken zijn tusschende meetbare getallen, vinden ze daar hun plaatsals algebraïsche getallen. De algebraïsche ge-tallen omvatten de meetbare getallen, gelijkdeze de geheele getallen omvatten. De alge-braïsche getallen liggen weer veel dichter opelkaar dan de meetbare getallen; toch vormenze te zamen weer een aftelbare verzameling,d.w.z. ook de algebraïsche getallen kan mennummeren. Dit doet men o.a. door eerst devergelijkingen te rangschikken naar hun z.g.„hoogte”, d.i. de som van de volstrekte waardender coëfficiënten, vermeerderd met den graaden verminderd met 1. Zoo is bijv. van de verge-lijking 3 x2 —7 x — 1=0 de hoogte 3+7-1-1+2 ——1=12. Met een bepaalde hoogte correspondeerteen eindig aantal vergelijkingen, die men bijv.naar hun graad en vervolgens naar hun coëffi-ciënten kan ordenen. Rangschikt men verderde wortels naar hun grootte, dan krijgt elk zooontstaan algebraïsch getal een rangnummer. —Alle getallen, die niet algebraïsch zijn, heetentranscendent. Transcendent zijn bijv. de ge-tallen n = 3,14259...., e = 2,71828.... Allealgebraïsche en alle transcendente getallenvullen het z.g. continuüm op. — Dit continuümis een niet-aftelbare verzameling. Tot dusveris ondersteld, dat het mogelijk was het beschouw-de getal te rangschikken tusschen de meetbaregetallen.
Wil men echter den wortel uit eennegatief getal trekken, dan is er zelfs geen al-gebraïsch getal te vinden, dat aan de vraag vol-doet. Wil men die bewerking tóch uitvoeren,dan moet men een denkbeeldig (imaginair) getalscheppen, dat krachtens definitie aan de gestoldevoor waarden voldoet. In tegenstelling met dezenieuwe imaginaire getallen heeten de tot dus-ver beschouwde getallen reëele getallen. Alle getallen, die met n onderling ondeelbaar zijn(bijv. voor n = 18, a — 2, & = 3, <p(18) == 18 x (1-7,) x (1-Vs)=18x7, x 7s=6;degetallen zijn 1, 6, 7,11,13,17). — Opdat 2»» -f1een priemgetal zij, moet m een macht van 2zijn, dus m — 2»; toch is 22»+ 1 niet nood-zakelijk een priemgetal, zooals Fermat meende;n = 6 geeft 232 + 1, een getal, dat deelbaar isdoor 641. — In de tweede plaats behandelt degetallentheorie de z.g. getallencongruenties.Men noemt 2 getallen a en i congruent met vierkantswortels uit negatieve getallen zijn tebeschouwen als een reëel (algebraïsch) veelvoudvan V—1. Dit getal V—1 wordt gekozen totimaginaire eenheid, en veelal aangeduid door Zoo heeft men V—4 = 2 i, V—3 = i v^S.
Deoplossing der vierkantsvergelijkingen geeftaanleiding tot getallen, die te beschouwenzijn als de som van een reëel en een imaginairgetal a + i i (a en b reëel). Zulk een getal heetcomplex getal. De complexe getallen vormenook samen een lichaam. Dit lichaam is daaromvan zoo groote beteekenis, omdat elke algebraï-sche of transcendente bewerking binnen ditlichaam uitvoerbaar is; d.w.z. alle getallen, diemen door een algebraïsche of transcendentebewerking uit een complex getal a + ib krijgt,zijn steeds van ’t zelfde type: a' 4i V. —Men kan naar ’t voorbeeld van de „gewone”complexe getallen ook z.g. hoogere complexegetallen vormen, die uit meer dan 2 soorten van eenheden (e,, e„, en) zijn opgebouwd:
x = + atet -fa3e3 + (%, u2, .... On reëele getallen). De bewerkingen, diemen met deze getallen kan uitvoeren, wordenbeheerscht door de eventueele betrekkingentusschen de eenheden, bijv. e,2 = ex e3, enz.Als voorbeeld van dergelijke hoogere complexegetallen kunnen de z.g. quaternionen* vanHamilton dienen. Deze hebben 4 eenheden, n.1. de gewone reëele eenheid 1 en drie imaginaireeenheden ik, die voldoen aan i2=)2=7c2= — 1,jk = i, ki — j, ij = k. De gewone complexegetallen zijn de eenige, waarvoor de reken-kundige wetten van de optelling en de vermenig-vuldiging gelden (distributieve, associatieve encommutatieve eigenschap). De quaternionenzijn de eenige hoogere complexe getallen, die allerekenkundige regels volgen behalve de commu-tatieve eigenschap der vermenigvuldiging: bijde quaternionen geldt niet a 6 = ia.
2) (taalk.), Lat.numerus, benaming voor de bui-gings- en vervoegingsvormen, die aanduiden, of ersprake is van één of meer zelfstandigheden. Menonderscheidt in hoofdzaak twee getallen: enkel-voud (Lat. singularis) en meervoud (Lat. pluralis).Inde oudere Indogerm.talen bestonden ook afzon-derlijke vormen voor het tweevoud (Lat. dualis).G.-vormen komen voor bij nomina en verba: hetpaard loopt — de paarden loopen. Ten opzichtedier g.-vormen ontwikkelde zich de congruen-tie*. — Niet steeds wordt een veelheid van zelf-standigheden door een meervoudigen vorm aan-geduid, b.v. een paar, een dozijn, een massa, enz.,verder alle z.g. collectiva*. Er zijn woorden, diealleen in het enkelvoud gebruikt worden (Lat.singularia tantum), b.v. abstracte substantiva:liefde, haat, geschreeuw, luiheid, enz.; eigenna-men: Amsterdam, Frankrijk; collectiva: gevogel-te, huisraad. Andere komen alleen in het meerv.voor (pluralia tantum): hersenen,notulen, finan-ciën, gebroeders; Alpen, Pyreneeën. — 3) zieGEWICHT.
