Arithmetica, de wetenschap die zich bezighoudt met de eigenschappen der getallen (met bijgedachte dat men de getallen voorstelt met behulp van cijfers, vandaar de uitdrukking cijferkunst voor rekenkunst); B kenkunst, de kunst om door verschillende bewerkingen uit bekende getallen onbekende getallen te vinden, het oplossen van rekenkunstige vraagstukken, de practijk der rekenkunde. Hetgeen hier volgt bedoelt voornamelijk een verklaring te geven van de in de R. meest gebruikelijke termen en uitdrukkingen.
De grondeigenschap der R. is, dat een hoeveelheid niet verandert, in welke volgorde men de eenheden, waaruit de hoeveelheid is samengesteld, ook neme of op welke wijze men die eenheden ook tot groepen vereenige. In de R. stelt men de getallen (zie Getal) voor met behulp van cijfers. De cijfers van een zoo voorgesteld getal hebben een volstrekte en een betrekkelijke waarde, de volstrekte waarde van een cijfer geeft aan, hoeveel eenheden dat cijfer voorstelt; de betrekkelijke waarde van een cijfer geeft aan, hoe groot de eenheden zelf zijn welke het cijfer voorstelt. Men onderscheidt eenheden van de eerste, tweede, derde, vierde orde enz., en bizonder bij het tiendeelige of decimale stelsel eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen enz. Van het eerste cijfer rechts van een getal is de betrekkelijke waarde 1, van het daarop volgende cijfer is de betrekkelijke waarde 10, enz. Alle vragen omtrent de getallen kunnen worden opgelost met behulp van de vier hoofdbewerkingen der R.: optelling, vermenigvuldiging, aftrekking, deeling.
De optelling, samentelling of additie leert de som vinden van twee of meer gelijknamige getallen; of: het getal vinden dat zoo groot is als twee of meer gelijknamige getallen
tezamen; onder de som van twee of meer getallen verstaat men het getal dat verkregen wordt door bij het eene getal al de eenheden van het andere getal of van de andere getallen te voegen. Om aan te duiden dat getallen moeten worden samengeteld plaatst men tusschen alle opvolgende getallen het teeken +, plus geheeten. Bij de optelling kunnen zich drie gevallen voordoen: optelling van twee getallen, ieder van één cijfer, optelling van een getal van één cijfer bij een getal van twee of meer cijfers, optelling van een willekeurig aantal getallen, ieder van een willekeurig aantal cijfers. Men pleegt de op te tellen getallen zoodanig onder elkaar te plaatsen dat de eenheden van dezelfde orde in één kolom staan, en dan met optellen te beginnen met de eenheden der eerste orde, wijl alsdan de samentelling van elke kolom dadelijk een cijfer van de uitkomst oplevert.
De aftrekking of substractie is een bewerking welke leert het verschil vinden van twee gelijknamige getallen; of: van een gegeven getal zooveel eenheden af te nemen als er in een ander gegeven getal zijn. Het getal dat overblijft als men van een gegeven getal zooveel eenheden heeft afgenomen als er in een ander getal gegeven zijn, heet het verschil der gegeven getallen; het grootste der twee bedoelde getallen noemt men aftrektal, het kleinste aftrekker. Om aan te duiden dat een getal moet afgetrokken worden van een ander, plaatst men tusschen dat getal en het andere het teeken —, min geheeten. Het aftrektal bevat evenveel eenheden als aftrekker en verschil samen, is derhalve de som daarvan, en men kan de bewerking der substractie daarom ook omschrijven met te zeggen, dat zij het getal leert vinden, dat men bij het kleinste van twee gegeven getallen moet optellen om het grootste te verkrijgen. Men is bij de bewerking der substractie gewoon het kleinste getal zoo onder het grootste te plaatsen, dat de eenheden van dezelfde orde onder elkander staan: eenheden onder eenheden, tientallen onder tientallen enz.; onder het kleinste getal komt dan een streep en daaronder komt dan de uitkomst.
De vermenigvuldiging of multiplicatie leert de som vinden van eenige gelijke getallen (die som heet dan het product van een dier getallen met hun aantal); of: een getal zooveel maal nemen als door een ander wordt voorgesteld. Een dier gelijke getallen wordt het vermenigvuldigtal genoemd en het getal dat aangeeft van hoeveel gelijke getallen de som moet genomen, de vermenigvuldiger, terwijl beide getallen in het algemeen factor worden geheeten. Ter aanduiding dat twee getallen met elkander vermenigvuldigd moeten worden, plaatst men tusschen beide het teeken X, maal geheeten. Om de bewerking uit te voeren schrijft men den vermenigvuldiger onder het vermenigvuldigtal en onder den eerste een streep, waaronder dan de verschillende cijfers van de uitkomst komen. Het product van twee getallen ieder van één cijfer kan gevonden worden door de gelijke getallen op de gewone wijze op te tellen, en elke vermenigvuldiging, hoe groot de factoren ook mogen zijn, wordt tot dit eenvoudigste geval terug gebracht. Om vlug te kunnen vermenigvuldigen is het daarom noodig, alle producten van twee getallen, ieder van één cijfer (tafel van vermenigvuldiging) van buiten te kennen. Om een willekeurig getal te vermenigvuldigen met een term van de schaal van het tientallig stelsel plaatst men achter dat getal eenvoudig zooveel nullen als in den term voorkomen. Het product van twee willekeurige getallen verkrijgt men door den vermenigvuldiger in deelen '(eenheden, tientallen enz.) te splitsen, het vermenigvuldigtal met elk dier deelen te vermenigvuldigen, en van al die gedeeltelijke producten de som te nemen. De uitkomst die verkregen wordt als men twee getallen met elkander vermenigvuldigt, het komende product met een derde getal, enz., noemt men gedurig product, en de verschillende met elkander vermenigvuldigde getallen factoren. De waarde van een gedurig product is onafhankelijk van de volgorde der factoren. Een gedurig product verandert niet van waarde als men een willekeurig aantal der factoren vervangt door hun product. Een product van eenige factoren, alle gelijk aan eenzelfde getal, noemt men een macht van dat getal, en het aantal der factoren den graad der macht. Om een macht van een getal aan te geven schrijft men het getal slechts éénmaal en rechts er neven iets hooger een kleiner geschreven getal, dat den graad van de macht aanwijst. Dit laatste getal heet exponent. De bewerking, die dient om een macht van een getal te verkrijgen, wordt machtsverheffing genoemd. (Zie Logarithmen.)
De deeling of divisie leert vinden hoe dikwijls een getal begrepen is in een ander, of anders gezegd, hoe dikwijls een getal kan worden afgetrokken van een ander getal. Het getal waarvan men aftrekt heet deeltal, het getal dat men aftrekt deeler, de uitkomst quotiënt, en het getal dat overblijft als de deeler zoo dikwijls mogelijk van het deeltal is afgetrokken, rest; is de rest nul, dan zegt men dat de deeling opgaat. Om aan te duiden dat de bewerking der deeling moet plaats hebben zet men achter het deeltal het teeken :, gedeeld door geheeten, en daarachter den deeler; ook kan men den deeler onder het deeltal plaatsen, met een streep tusschen beide.
Wanneer de deeling van een getal door een zeker getal opgaat, dan zegt men dat het eerste getal deelbaar is door het tweede getal, en noemt dit laatste een deeler of factor van het eerste getal. Elk getal is deelbaar door de eenheid en door zichzelf; de eenheid en het getal zelf worden echter niet als deelers gerekend. Als een getal geen andere deelers bevat dan de eenheid en zichzelven, zegt men dat het ondeelbaar is. Algemeens eigenschappen van deelbaarheid zijn de volgende:
1) als een getal door eenige ondeelbare of onderling ondeelbare getallen deelbaar is, dan is het ook deelbaar door het product van twee of meer dezer deelers;
2) als een getal deelbaar is door een deelbaar getal, dan is het ook deelbaar door al de deelers van dien deelbaren deeler;
3) als eenige getallen door eenzelfde getal deelbaar zijn, is de som dezer getallen ook door dat getal deelbaar;
4) als bij de som van eenige getallen die alle door eenzelfde getal deelbaar zijn, een getal gevoegd wordt, dat niet door dien deeler deelbaar is, dan zal, wanneer men de laatste som door dien deeler deelt, eenzelfde getal overblijven als er overblijft wanneer men het bijgevoegde getal alleen door dien deeler deelt;
5) als twee getallen door eenzelfde getal deelbaar zijn, is het verschil dezer getallen ook door dat getal deelbaar;
6) als een getal een deeler is van een ander getal, dan is het ook een deeler van alle veelvouden van dat getal.
Kenmerken van deelbaarheid
Een getal is deelbaar door 2 of 5, als het laatste cijfer door 2 of 5 deelbaar is; door 4 of 25 als de twee laatste cijfers door 4 of 25 deelbaar zijn; door 8 of 125 als de drie laatste cijfers door 8 of 125 deelbaar zijn, enz. Een getal is verder deelbaar door 3 of 9, als de som der cijfers door 3 of 9 deelbaar is. Bewijs: door de verdeeling van zulk een getal in veelvouden van 9, 99, 999 enz., en de enkele overschietende cijfers. Een getal is deelbaar door 11, als, van de •eenheden af te rekenen, het verschil tusschen de som van Het Ie, 3e, 5e enz. cijfer en de som van het 2e, 4e, 6e enz. cijfer door 11 deelbaar is. Bewijs: door de verdeeling van dat getal in veelvouden van 99, 9999, 999999 enz. (voor het 3e, 5e, 7e cijfer), en veelvouden van 11, 1001, 100001 enz. (voor het 2e, 4e, 6e enz. cijfer), en de sommen dier enkele cijfers, welke van elkander moeten afgetrokken worden. Een getal is door 7 deelbaar, als tweemaal het achterste cijfer van het overige des getals, als een getal op zich zelf beschouwd, afgetrokken zijnde, het verschil door 7 deelbaar is; of wel: als vijfmaal het achterste cijfer bij het voorste deel opgeteld zijnde, de som door 7 deelbaar is. Bewijs: in het le geval vermindert men het getal met (20 +1) maal Het laatste cijfer, en in het 2e geval vermeerdert men het getal met (50 — 1) maal het laatste cijfer. Dus in beide gevallen met een zevenvoud. Een getal is door 13 deelbaar als de proef genomen wordt op gelijke wijze als bij 7; maar met aftrekking van 9 maal, of bijtelling van 4 maal het achterste cijfer. Zoo ook voor 17: aftrekking 5 maal, of bijtelling 12 maal; voor 19: aftrekking 17 maal, of bijtelling 2 maal; voor 23: aftrekking 16 maal, of bijtelling 7 maal. Bewijs op gelijken grond als bij 7.
De grootste gemeene deeler van twee of meer getallen is het grootste getal, dat in al deze getallen zonder overschot kan gedeeld worden. De grootste gemeene deeler van twee getallen wordt gevonden door het kleinste getal te deelen in het grootste getal; het overschot in het kleinste getal, het 2e overschot in het eerste overschot, het 3e overschot in het 2e, enz., tot de deeling geheel -opgaat. Het getal waar men het laatst door gedeeld heeft, is de grootste gemeene deeler. Vergelijk hierbij de 5de der boven opgegeven algemeene kenmerken van deelbaarheid.
Het product van een getal met een willekeurig ander getal noemt men een veelvoud van dat andere getal. Het kleinste gemeene veelvoud van twee of meer getallen is het kleinste getal, waarin al deze getallen zonder overschot kunnen gedeeld worden. Het kleinste gemeene veelvoud wordt gevonden door al de getallen, als ze onderling ondeelbaar zijn, met elkander te vermenigvuldigen; maar, als er onder de getallen zijn, die een gemeenen deeler hebben, dan behoeft die gemeene deeler slechts eenmaal als factor bij de vermenigvuldiging te worden gebruikt.
Breuken
Een breuk of een gebroken getal is een of meer gelijke deelen van een geheel. Men verkrijgt dus een breuk door een of meer eenheden te verdeden in een zelfde aantal gelijke deelen en een of meer van die deelen te nemen. Het getal dat aangeeft in hoeveel deelen de eenheid is verdeeld, heet de noemer der breuk, en het getal dat aangeeft hoeveel van die deelen genomen zijn, de teller der breuk. Om een breuk te schrijven zet men den noemer onder den teller met tusschen beide een streep. Bij1 het uitspreken van een breuk noemt men eerst het getal dat den teller uitdrukt en vervolgens het getal dat den noemer aangeeft. Men onderscheidt eenvoudige breuken (teller en noemer beide geheele getallen: ⅘) en samengestelde breuken (teller of noemer of beide een gemengd getal of een breuk: 2¾/5 , 1 / (1 4/7 ) , 3⅛ / ( 8 7/9 ), verder echte of gebruikelijke breuken (de breuk kleiner dan de eenheid, derhalve de teller kleiner dan de noemer: 3/4) en onechte of ongebruikelijke breuken (breuken gelijk aan de eenheid of grooter dan de eenheid, dus de teller even groot of grooter dan de noemer: 2/2, 7/2); eindelijk nog: oneigenlijke breuken, zoodanige wier teller een veelvoud is van den noemer. Samengestelde of gemengde getallen zijn zoodanige, welke bestaan uit de som van een geheel getal en een echte breuk (b.v. B2^.
Algemeene eigenschappen der breuken
1) Als de noemer dezelfde blijft, maar de teller grooter of kleiner wordt, dan wordt ook de waarde van de breuk in dezelfde verhouding grooter of kleiner;
2) als de teller dezelfde blijft, maar de noemer grooter of kleiner wordt, dan wordt de waarde van de breuk in dezelfde verhouding kleiner of grooter;
3) als teller en noemer met eenzelfde getal vermenigyuldigd worden, blijft de waarde der breuk onveranderd;
4) als teller en noemer door eenzelfde getal gedeeld worden, blijft de waarde van de breuk onveranderd.
Herleiding
Het voorstellen van een geheel of gemengd getal of een breuk onder een anderen vorm heet herleiden. Men kan een willekeurig aantal geheele en gebroken getallen herleiden tot gelijknamige breuken. Om een onechte breuk te herleiden tot een gemengd getal wordt de teller gedeeld door den noemer; het quotiënt is het aantal geheelen, en de rest de teller van de echte breuk die er bijgevoegd wordt. Om een breuk te vereenvoudigen (te verkleinen) deelt men teller en noemer door hun grootsten gemeenen deeler. Ter herleiding van ongelijknamige breuken tot gelijknamige neemt men het kleinst gemeene veelvoud van al de noemers voor algemeenen noemer en maakt dan elke teller even zooveel maal grooter als elke noemer grooter geworden is.
Optelling van breuken
Hierbij kunnen zich drie gevallen voordoen:
1) optelling van breuken met gelijke noemers (gelijknamige breuken); dit geschiedt door de tellers op te tellen, algemeen uitgedrukt: de som van eenige gelijknamige breuken is gelijk aan de som van hare tellers, gedeeld door den gemeenschappelijken noemer;
2) optelling van ongelijknamige breuken; hierbij moeten de breuken eerst herleid tot gelijknamige (zie boven), waarvan men vervolgens de som bepaalt;
3) optelling van gemengde getallen; van zoodanige getallen is de som gelijk aan de som der breuken en de som der geheelen, tezamen vereenigd tot een gemengd getal.
Aftrekking
Hierbij kunnen zich dezelfde drie gevallen voordoen als bij optelling zijn opgegeven. Als de breuken gelijke noemers hebben is het verschil gelijk aan het verschil der tellers gedeeld door den noemer. Hebben de breuken ongelijke noemers, dan worden ze eerst herleid tot gelijknamige breuken. Van gemengde getallen is het verschil gelijk aan het verschil der breuken en het verschil der geheelen, vereenigd tot een gemengd getal.
Vermenigvuldiging
Om een geheel getal te vermenigvuldigen met een breuk, kan men dat geheele getal met den teller vermenigvuldigen, en het product deelen door den noemer. Het product van twee breuken is een breuk, die tot teller heeft het product der gegeven tellers en tot noemer het product der gegeven noemers. Gemengde getallen herleidt men vooraf tot breuken.
Deeling
Het quotiënt van twee gebroken of twee geheele getallen of van een breuk en een geheel getal wordt gevonden als men het deeltal vermenigvuldigt met het omgekeerde van den deeler.
Tiendeelige breuken
decimale breuken, ontstaan door de deeling van een geheel door 10 of een veelvoud van 10. De noemer van een tiendeelige breuk is altijd 10 of een veelvoud van 10. Bij geheele getallen is de betrekkelijke waarde van ieder cijfer van links naar rechts 10 maal zoo klein als het vorige en bij de tiendeelige breuken zet men dit eenvoudig verder voort dan tot de eenheden. Van een tiendeelige breuk wordt alleen de teller geschreven, en wel achter de eenheden, waarvan zij dan worden gescheiden door een punt of komma (decimaalpunt, decimaalkomma). Als er geen geheelen in het getal voorkomen, dan wijst men de plaats der eenheden aan door een nul, en alsdan is het getal een decimale of tiendeelige breuk, terwijl men, indien het getal behalve tienden, honderdsten enz. ook geheelen bevat, van een decimaal getal spreekt.
Herleiding
1) gewone breuken tot tiendeelige; hiertoe wordt de teller met 10 of een veelvoud van 10 vermenigvuldigd en door den noemer gedeeld. De uitkomst wordt dan uitgedrukt in tiende deelen of in veelvouden van tiende deelen. Bij deze bewerking zullen 2 soorten van tiendeelige breuken kunnen ontstaan: opgaande tiendeelige breuken, als de deeling eindelijk ophoudt of wel, repeteerende, wederkeerende tiendeelige breuken, als de deeling nooit zou ophouden. De repeteerende breuken kunnen zijn: zuiver repeteerende, als al de cijfers in een zekere orde terugkeeren, of wel gemengd repeteerende, als sommige cijfers terugkeeren;
2) van opgaande tiendeelige tot gewone breuken; voor teller wordt genomen: het getal achter het decimaalpunt, en voor noemer: de eenheid met zooveel nullen als er cijfers achter het decimaalteeken staan;
3) van zuiver repeteerende tiendeelige tot gewone breuken; voor teller wordt genomen het getal dat telkens terugkeert (de repetent), en voor noemer: zooveel negens als er cijfers in den repetent zijn;
4) van gemengde repeteerende tiendeelige tot gewone breuken; de cijfers die terugkeeren en die niet terugkeeren worden te zamen als één getal genomen; daarvan wordt afgetrokken het getal dat niet terugkeert; het overschot is de teller. De noemer bestaat uit zooveel negens als er cijfers zijn die terugkeeren, en zooveel nullen als er cijfers zijn die niet terugkeeren.
