Projectieve meetkunde, - tak der meetkunde, waarin die eigenschappen der figuren worden onderzocht, die bij herhaalde centrale projectie behouden blijven. — Denkt men zich op een lijn (drager) l een puntenreeks P, Q, R,..., en verbindt men de punten hiervan met een buiten l gelegen punt O, dan vormen de verbindingslijnen OP = p, OQ = q, OR = r,... een „bundel” of „waaier” van stralen; O heet het centrum of dragerpunt van den stralenbundel. Hierbij worden de lijnen p, q, r,... in hun volle uitgestrektheid beschouwd. Men noemt nu den stralenbundel O (p, q, r,...) perspectief met de puntenreeks 1(P, Q, R, ...). Snijdt men den stralenbundel door een nieuwe rechte lijn l', dan ontstaat de puntenreeks V (P', Q', R',...), die weer perspectief is met O (p, q, r, ...) en ook perspectief heet met l (P, Q, R,...). Projecteert men deze laatste reeks l' (P', Q', R',...) centraal uit een nieuw centrum O’ door den waaier O' (pq', r',...), dan is deze waaier ook perspectief met l'(P', Q', R',...); ze heet nu ook perspectief met den waaier O (p, q, r,...). Twee puntenreeksen zijn zoodoende perspectief, als de verbindingslijnen van overeenkomstige punten door eenzelfde punt (perspectiviteitscentrum) gaan; twee stralenbundels (waaiers) zijn perspectief, als de snijpunten van overeenkomstige stralen op eenzelfde rechte lijn (perspectiviteitsas) liggen. In beide gevallen worden de punten der twee reeksen of de stralen der twee waaiers stuk voor stuk (één aan één) aan elkaar toegevoegd en wel zóó, dat bij de puntenreeksen het snijpunt S van de dragers der reeksen met zichzelf overeenkomt, en eveneens bij de waaiers de verbindingslijn der centra (dragerpunten) aan zichzelf is toegevoegd.
Snijdt men nu van twee perspectieve waaiers elk door een lijn, dan ontstaan twee nieuwe puntenreeksen, die weer punt voor punt aan elkaar zijn toegevoegd, zonder echter in ’t algemeen perspectief te zijn. Deze reeksen heeten nu projectief. Twee puntenreeksen zijn dus projectief, wanneer met elk punt van de eene reeks één en slechts één punt van de andere overeenkomt. Projecteert men twee perspectieve of projectieve reeksen elk uit een afzonderlijk centrum, dan ontstaan twee stralenbundels, die ook straal voor straal met elkaar correspondeeren zonder perspectief te zijn. Deze waaiers heeten eveneens projectief. De projectiviteit blijft zoodoende behouden door een reeks uit een punt te projecteeren in een stralenbundel of door een stralenbundel te snijden door een nieuwen drager. Beschouwt men 2 viertallen van correspondeerende punten ABCD, A'B'C'D', dan is de dubbelverhouding (ABCD) = AC/BC : AD/BD gelijk aan de dubbelverhouding (A'B'C'D') = A'C'/B'C' : A'D'/B'D'. De dubbelverhouding van 4 punten is zoodoende een grootheid, die invariant is bij „projectieve transformatie”. Bepaalt men de ligging van de punten door hun abscissen x, resp. x' (gemeten van een aangenomen nulpunt), dan bepalen x en x' elkaar ondubbelzinnig; de betrekking tusschen x en x' is dan van den vorm:
Axx'+Bx+Cx'+D=0 ; deze betrekking heet een „bilineaire” vergelijking. Door oplossing vindt men x' = (— Bx—D) / (Ax + C) ; x en x' volgen dus uit elkaar door een lineaire substitutie. Een projectieve verwantschap (homographie) tusschen twee puntenreeksen is vastgelegd, als men 3 puntenparen AA', BB', CC' aan elkaar heeft toegevoegd. Van elk 4e punt X is nu het toegevoegde punt X' bepaald door de voorwaarde, dat (ABCX) = (A' B'C'X'). — Beschouwt men de snijpunten van de correspondeerende stralen van twee projectieve, niet-perspectieve waaiers, dan vormen die samen een kegelsnede. Zoo kan men allerlei kromme lijnen door een eenvoudige of meer ingewikkelde projectieve verwantschap doen ontstaan. Men kan ook twee vlakke velden door centrale projectie met elkaar laten correspondeeren; na herhaalde projectie houdt men nog een projectieve verwantschap over; hierbij correspondeert een rechte lijn van 't eene vlak met een rechte lijn van ’t andere vlak, een kegelsnede met een kegelsnede, een kromme van den nen graad met een kromme van den nen graad. Tusschen de coördinaten x, y resp. x', y' van twee toegevoegde punten P, P' bestaat de betrekking x'=( a1x+b1y+c1 ) / ( ax+by+c )
y'=( a2x+b2y+c2 ) / ( ax+by+c )
Deze transformatie heet ook projectieve transformatie of ook collineatie. Een collineatie tusschen twee vlakke velden wordt bepaald door de toevoeging van 4 puntenparen. Tot de collineaties behoren als bijzonder geval de bewegingstransformaties. Door de collineatie gaat de lijn ax+by+c=0 van ’t eerste vlak over in de oneindig verre lijn van ’t tweede vlak. Zoodoende kan men door een projectieve transformatie de oneindig verre lijn in ’t eindige brengen, en leert men door de projectieve meetkunde het oneindige onderzoeken volgens dezelfde methode als de in ’t eindige liggende figuren. — Men kan ook twee projectieve puntenreeksen op eenzelfden drager, twee projectieve waaiers om eenzelfde centrum plaatsen (collocale of conjectieve reeksen resp. waaiers). Er komen dan twee „dubbelelementen”, d. z. elementen, die aan zichzelf zijn toegevoegd.
Zijn twee collocale projectieve reeksen zoodanig, dat een punt P met eenzelfde punt P' overeenkomt, tot welke reeks men het ook laat behooren, dan heet de projectiviteit wederkeerig of involutorisch, of een involutie. Men kan ook twee projectieve vlakke velden laten samenvallen. Zoo kan men ook een projectiviteit vaststellen in de ruimte. Met elk punt P komt dan één punt P', met elke lijn l één lijn l', met elk vlak a één vlak a' overeen. Deze projectiviteit heet ruimtelijke collineatie. Men heeft dan x'=( a1x+b1y+c1z+d1 ) / ( ax+by+cz+d )
y'=( a2x+b2y+c2z+d2 ) / ( ax+by+cz+d )
z'=( a3x+b3y+c3z+d3 ) / ( ax+by+cz+d )
De projectieve meetkunde is gegrondvest door Poncelet (Traité des propriétés projectives des figures), verder uitgewerkt door Chasles, Gergonne, Steiner, v. Staudt, Möbius, Plücker, Hesse, Clebsch en Klein.
