Meetkunde - onderdeel der wiskunde, waarin de ligging en de uitgebreidheid van ruimtelijke voorwerpen (lijnen, oppervlakken, lichamen) onderzocht worden in hun onderling verband volgens wiskundige methoden. — De waarneming der natuurobjecten heeft er vanzelf toe geleid telkens terugkeerende maatverhoudingen en merkwaardige liggingen te „verklaren” uit logische beginselen. Om te beginnen moet men daarbij van de natuurobjecten die eigenschappen ter zijde stellen, die voor de ruimtelijke ligging en maatverhoudingen zonder beteekenis zijn (kleur, zwaarte). Daarna komt men er toe de aldus overblijvende abstracties te idealiseeren om ze toegankelijk te maken voor de eenvoudigste wiskundige behandeling. Bijv. de in werkelijkheid min of meer ruwe begrenzingsvlakken van een doos worden door gladde „vlakke” wanden vervangen; de begrenzingslijnen, die min of meer grillig verloopen, worden recht, cirkelvormig, enz. gemaakt; van zeer kleine objecten worden de afmetingen onbepaald verkleind tot het „punten” worden; en ten slotte werkt de menschelijke geest met een n a a r a a n l e i d i n g v a n de waargenomen natuurvoorwerpen door hemzelf ontworpen denkbeeldig samenstel van ruimtelijke abstracties : platte vlakken, cylindervlakken, boloppervlakken, rechte lijnen, cirkels, punten, enz.
Het opsporen van de eigenschappen, welke de zoo ontworpen „figuren” krachtens hun ontstaanswijze bezitten, is de taak der meetkunde. De meetkunde bedient zich zoodoende van verschillende methoden, naar gelang van den aard der eigenschappen der onderzochte figuren. — Elk meetkundig onderzoek moet beginnen met het opstellen van eenige definities, afspraken, die den aard van de te onderzoeken figuren vastleggen, alsook met het vermelden van de logische beginselen (a x i o m a ’s), die voortdurend toegepast zullen worden. De definities hebben te voldoen aan de voorwaarde, dat ze geen innerlijke tegenstrijdigheden bevatten. Overigens kunnen ze geheel willekeurig zijn. Ze worden echter — om directe aanraking met de „ervaringsruimte” mogelijk te maken — zóó gekozen, dat de gedefiniëerde begrippen in de voornaamste kenmerken overeenkomen met de eigenschappen, die het naïef verstand aan waargenomen voorwerpen toekent. Zulk een aan de ervaring ontleende definitie heet p o s t u l a a t. Ze wordt echter ook zeer dikwijls eveneens „axioma” genoemd. Bijv.: Er bestaan zoodanige lijnen, dat ze door twee hunner punten geheel bepaald zijn; deze worden dan „rechte” lijnen genoemd. Logisch beschouwd is deze uitspraak een definitie, hoewel ze voor het primitieve verstand als een ervaringsfeit geldt.
Een ander postulaat luidt: wanneer men twee lijnstukken a en b heeft, waarvan a kleiner is dan b, dan is het altijd mogelijk de lijn a zoo dikwijls met zichzelf te verlengen, dat het aldus verkregen veelvoud van a de lijn b in lengte overtreft. Dit „postulaat van Archimedes” kan, hoe vanzelfsprekend het ook lijkt, zonder bezwaar overboord gezet worden; de z.g. „niet-Archimedische” meetkunde, die men zonder dit postulaat kan opbouwen, is, hoezeer ook afwijkend van de gewone, in zichzelf niet strijdig, dus logisch mogelijk. — Dat het voor het natuurlijk verstand uiterst moeilijk is zich aan den suggestieven invloed van de z.g. „ervaring” te onttrekken, leert vooral de geschiedenis van het postulaat der evenwijdige lijnen (ook wel „axioma der evenw. lijnen” geheeten). Hoewel alle waarnemingen, die men in een eindig deel van onze ervaringswereld kan doen, erop schijnen te wijzen, dat men in één plat vlak door een punt P buiten een lijn l één en niet meer dan één lijn kan trekken, die, hoe ver ook verlengd,. de lijn l nooit snijdt, is deze uitspraak geen logisch gevolg van de definitie van de rechte lijn en het platte vlak. Ze kan, hoe evident ze ook schijnt, niet bewezen worden. Reeds Euclides (300 v. Chr.) heeft de onbewijsbaarheid van die uitspraak ingezien en haar als postulaat (axioma) in zijn meetkunde opgenomen (zij het in een eenigszins andere, daarmee gelijkwaardige formuleering). Vele wiskundigen (o. a. Saccheri, Lambert, Legendre) hebben dit postulaat trachten te bewijzen, echter zonder resultaat. Eindelijk hebben de Rus Lobatschewsky (1826) en de Hongaar Bolyai (1832) het axiomatisch karakter afdoende bewezen, door een stelsel van meetkundige waarheden op te bouwen, dat onafhankelijk is van het genoemde postulaat. Later toonde Riemann (1856) de mogelijkheid aan van een meetkunde, waarin geen evenwijdige lijnen bestaan. — Niettegenstaande het postulaat (axioma) van Euclides aangaande de evenwijdige lijnen slechts een onderstelling is en dus op een keuze (uit 3 mogelijkheden) berust, wordt deze onderstelling in de dagelijksche praktijk en dientengevolge ook in de elementaire meetkunde zonder kritiek aanvaard, en wel omdat ze, in een eindig gebied der ervaringsruimte toegepast, door de ervaring schijnt opgedrongen te worden, hetgeen eigenlijk zeggen wil, dat de Euclidische meetkunde, die op deze hypothese berust, zóóveel eenvoudiger is dan de beide niet-Euclidische meetkunden (Poincaré), dat men er het eerst naar grijpt en de mogelijkheid van de andere onderstellingen geheel voorbijziet. — Het oudste leerboek der meetkunde is afkomstig van Euclides (Alexandrië, 300 v. Chr.); het bevat de grondslagen van het elementaire deel der meetkunde, zooals deze in hoofdzaak nog tegenwoordig op onze scholen wordt onderwezen.
Men onderscheidt de p l a n i m e t r i e, waarin figuren in eenzelfde vlak, en de s t e r e o m e t r i e, waarin figuren in de ruimte behandeld worden. Al naar gelang van de verschillende wiskundige methoden, die men bij ’t onderzoek der figuren toepast, heeft men verschillende takken van meetkunde: de metrische meetkunde (planimetrie en stereometrie), de driehoeksmeting, de beschrijvende meetkunde, de projectieve meetkunde, de analytische meetkunde, de meetkunde van het aantal, de differentiaalmeetkunde, de analysis situs of topologie. In de m e t r i s c h e m e e t k u n d e valt het zwaartepunt op de lengte van rechte en kromme lijnen (cirkels, enz.), op den oppervlakte-inhoud van vlakke of gebogen figuren (driehoek, parallelogram, trapezium, vierhoek, regelmatige veelhoek, cylindermantel, kegelmantel, rond oppervlak bolschijf, boldriehoek, enz.), op den ruimte-inhoud van lichamen (viervlak, prisma, pyramiden, cylinder, kegel, bol, enz.) en op de grootte van hoeken, kortom op m a a t v e r h o u d i n g e n . In verband hiermede zoekt men constructies van vlakke figuren met behulp van bepaalde werktuigen. Voorzoover de grootte der hoeken in rekening moet worden gebracht, bedient de meetkunde zich van de goniometrie en heet dan d r i e h o e k s m e t i n g . Men onderscheidt de vlakke driehoeksmeting, die zich bepaalt tot figuren, die òf zelf vlak zijn, òf uit vlakke figuren zijn opgebouwd, en de boldriehoekmeting die figuren, welke door groote cirkels op den bol worden gevormd, aan berekening onderwerpt. In de b e s c h r i j v e n d e m e e t k u n d e stelt men zich tot doel de ligging, de gedaante en de maten van een ruimtefiguur te bepalen door middel van een „afbeelding” op een of meer platte vlakken. Deze afbeelding kan overigens op de meest verschillende beginselen berusten, mits het mogelijk zij uit de afbeelding, hetzij onmiddellijk, hetzij door constructie, de eigenschappen en maten der afgebeelde ruimtefiguren terug te vinden. Ook kan men ruimtelijke constructies, die slechts in gedachte uitvoerbaar zijn, op deze wijze vertegenwoordigen door constructies in een plat vlak. Van de verschillende afbeeldingswijzen komen in de eerste plaats in aanmerking de p r o j e c t i e s, d. z. die afbeeldingen, waarbij het beeld ontstaat door van de punten der ruimtefiguur volgens een zekeren regel rechte lijnen te laten uitgaan en van deze de snijpunten te bepalen met één of meer projectievlakken (tafereelen).
Bij de c e n t r a l e projectie verbindt men de punten der af te beelden ruimtefiguren (origineel) met eenzelfde vast punt (projectiecentrum) door rechte lijnen, welke dan het projectievlak (tafereel) in de beeldfiguur snijden. Een bijzouder geval van de centrale projectie is de p e r s p e c t i e f (J. H. Lambert, 1759). Het tafereel wordt hier vertikaal gedacht, terwijl het centrum in het oog van den beschouwer wordt aangenomen; het centrum heet dan ook „oogpunt” in de perspectief. Kiest men het projectiecentrum op oneindigen afstand, dan worden de projecteerende lijnen evenwijdig en krijgt men de z.g. parallelprojectie (verlichting door evenwijdige lichtstralen); van bijzondere beteekenis is de o rt h og o n a l e projectie, waarbij de projecteerende lijnen loodrecht staan op het tafereel. Deze wordt toegepast in de axonometrie, waarbij men van een „assenkruis” gebruik maakt, ter volledige bepaling der af te beelden figuur. Een andere toepassing van de orthogonale projectie is de methode van de „projections côtées”, waarbij het origineel bepaald wordt, door de afstanden der verschillende punten tot het tafereel in getalwaarde bij hun projecties te vermelden. — Men kan ook een ruimtefiguur door b i c e n t r a l e projectie, d. i. door centrale projectie uit twee verschillende projectiecentra op eenzelfde tafereel afbeelden (v.b. stereoscopische afbeelding). Verreweg de meeste toepassing vindt de projectiemethode van M o n g e (1795), waarbij de ruimtefiguur orthogonaal wordt geprojecteerd op twee verschillende onderling rechthoekige tafereelen (er zijn dus ook 2 oneindig ver gelegen projectiecentra).
De twee tafereelen worden vervolgens door wenteling om hun snijlijn tot één teekenvlak vereenigd. Somtijds is het gebruik van een derde tafereel, loodrecht op de beide andere, aanbevelenswaardig (zie voor uitvoerige behandeling bij BESCHRIJVENDE MEETKUNDE). — De projectiemethoden der beschrijvende meetkunde leiden tot het beschouwen van die eigenschappen der figuren, welke „bestand zijn tegen (centrale) projectie’-’, d.w.z. welke behouden blijven in de beeldfiguur. Zoo bijv. van 3 punten, die in ’t orginieel op éen rechte lijn liggen, liggen de 3 beelden eveneens op één rechte lijn. In de p r o je c t i e v e m e e t k u n d e bestudeert men stelselmatig deze tegen projectie bestand blijvende eigenschappen, waarbij onder „projectie” ook moet verstaan worden een opeenvolging van verschillende centrale projecties. De projectieve meetkunde is gegrondvest door Poncelet, Chasles, Steiner en von Staudt. — Terwijl de projectieve meetkunde bijna geen grootheden gebruikt, die door geleidelijk veranderlijke getallen worden gemeten, berust de a n a l y t i s c h e m e e t k u n d e juist op de herleiding van alle meetkundige eigenschappen tot betrekkingen tusschen geleidelijk veranderlijke getallen; de meetkunde wordt hierbij „gearithmiseerd”. In de analytische meetkunde wordt de ligging van een punt op een rechte lijn vertegenwoordigd door den afstand x van dat punt tot een aangenomen nulpunt van telling (oorsprong). Met elk punt correspondeert zoodoende een „abscis” x; alle meetkundige betrekkingen tusschen punten op een rechte lijn worden vertolkt door (in den regel algebraïsche) betrekkingen tusschen hun abscissen. In ’t platte vlak wijst men een punt aan door de 2 afstanden („coördinaten” x, y) van dat punt tot 2 onderling loodrechte lijnen (coördinaatassen), wier snijpunt (oorsprong) als nulpunt dienst doet.
Meetkundige betrekkingen tusschen punten worden dan hier (in den regel algebraïsche) betrekkingen, waarin de beide coördinaten van de punten optreden. In de ruimte wordt een punt aangewezen door zijn 3 afstanden (coördinaten x, y, z) tot 3 onderling loodrechte vlakken (coördinaatvlakken), wier snijlijnen coördinaatassen en wier gemeenschappelijk snijpunt oorsprong heet. — Men kan het coördinaatbegrip ook uitbreiden door de ligging van een punt, een lijn, een vlak op andere wijze door getallen vast te leggen. Men krijgt zoodoende lijncoördinaten, vlakcoördinaten, homogene coördinaten (zie verder bij ANALYTISCHE MEETKUNDE). De analytische meetkunde is gegrondvest door Descartes. De studie van verschillende vlakke kromme lijnen met algebraïsche vergelijkingen (algebraïsche vlakke krommen) en van algebraïsche oppervlakken geeft aanleiding tot het beschouwen van verschillende vraagstukken, waarin gevraagd wordt naar het aantal figuren, die door zekere voorwaarden bepaald zijn. Zoowel de projectieve als de analytische meetkunde behandelt deze vraagstukken ieder op haar eigen manier. Het essentieele van de oplossingswijze wordt door de m e e t k u n d e v a n h e t a a n t a l ontdaan van de niet-noodzakelijke hulpbegrippen (coördinaten, enz.). De meetkunde van het aantal (Abzählende Geometrie, géométrie énumérative) is vooral door H. Schubert tot ontwikkeling gebracht. •— De differentiaalmeetkunde (géométrie infinitésimale) houdt zich bezig met de studie der kromme lijnen en oppervlakken uit het oogpunt van hun kromming ; daarbij spelen oneindig kleine veranderingen (differentialen) van de coördinaten een hoofdrol. — De a n a l y s i s s i t u s of t o p o l o g i e bestudeert de meetkundige figuren onafhankelijk van hun gedaante of grootte. In den zin der analysis situs zijn twee figuren gelijkwaardig, wanneer de eene door geleidelijke vervorming van de andere kan ontstaan; zoo zijn bijv. een cirkel, een ellips, een ovaal, een willekeurige gesloten vlakke lijn onderling gelijkwaardig; evenzoo een bol, een ellipsoïde, een eivormig lichaam ; daarentegen is een cirkelvormige ring (torus) niet gelijkwaardig met den bol, omdat hij niet door geleidelijke vervorming uit den bol kan ontstaan ; zijn „samenhang” is een andere.
