Meetkundig systeem, dat uitgaat van dezelfde axioma’s, definities en postulaten als de gewone, Euclidische meetkunde met uitzondering van het postulaat van de evenwijdigheid ( ➝ Euclidische meetkunde), dat ook als volgt geformuleerd kan worden: door een punt buiten een lijn kan altijd één en niet meer dan één lijn geconstrueerd worden, evenwijdig met die lijn. Reeds de Grieken oordeelden, dat dit postulaat niet even vanzelfsprekend was als de overige postulaten.
Men trachtte er een bewijs voor op te stellen. Merkwaardig is in lateren tijd de poging van H.
Saccheri S.J. Deze ging uit van de veronderstelling, dat het postulaat onjuist was, en wilde aantoonen, dat zelfs uit de aanname van de onjuistheid de juistheid volgen moest.
Hij kon het bewijs geven, mits hij daarbij twee veronderstellingen uitsloot, waarvan de onjuistheid hem vanzelfsprekend scheen. Zoodoende zette hij zijn onderzoek niet verder voort.
Lobatschewsky en Riemann hebben aangetoond, dat er meetkundige systemen kunnen worden opgesteld, die wat hun structuur betreft met de Euclidische meetkunde gelijkwaardig zijn, doch waarin telkens één van de veronderstellingen van Saccheri juist en het postulaat van de evenwijdigheid niet meer juist is. Zoo kwam men tot drie meetkunden: de hyperbolische van Lobatschewsky, de elliptische van Riemann (beide niet-Euclidisch) en de parabolische van Euclides.
In de eerste zijn er oneindig veel lijnen, in de tweede is er geen, en in de derde slechts één lijn door een punt aan een gegeven lijn evenwijdig, of althans niet snijdend. Wat de som van de hoeken van een driehoek betreft, deze is resp. kleiner dan, grooter dan, gelijk aan 180°.
Voor de axiomatiek is hiermee bewezen, dat het postulaat van de evenwijdigheid onafhankelijk is van al de overige.
Een verder probleem is het, of dan die overige wel voldoende de eigenschappen van de ruimte weergeven, en zoo niet, of het postulaat van de evenwijdigheid of een daarmee gelijkwaardig postulaat voor de ruimte als evident moet worden bijgevoegd.
Hierover is geen eenstemmingheid, al voert de ontleding van het begrip ruimte, althans zooals dit door ons verstand als een onmiddellijk gegeven feitelijkheid uit de aanschouwing wordt gevormd, tot de geldigheid van een dergelijk postulaat. Daarmee wordt dan tevens aangetoond, dat de niet-Eucl. meetkunde niet in denzelfden zin „bestaat” als de gewone meetkunde van Euclides.
Wel is de innerlijke niet-tegenstrijdigheid ervan bewezen door het construeeren van Euclidische modellen, waarop de niet-Euclidische meetkunde geldt: een contradictie in de laatste zou dus een contradictie in de eerste met zich brengen.Lit.: P. Hoenen S. J., Cosmologia (Rome 21936); H. J. E. Beth, Inleiding tot de niet-eucl. meetkunde op hist. grondslag (1929); H. de Vries, De Vierde Dimensie (21925). Drost.