noemt men een verzameling M, wanneer voor zekere paren elementen van M een relatie bestaat, aangeduid door a < b en uitgesproken: „a is in b bevat”, „a is kleiner dan b” of „a gaat aan b vooraf”, die aan de volgende voorwaarden voldoet:
1. a ≦ a;
2. Uit a ≦b en b ≦( a volgt a=b;
3. Uit a ≦ b en b ≦ c volgt a ≦ c.
De onderzoekingen van de laatste twintig jaren hebben aan het licht gebracht, dat men in verschillende takken van de wiskunde deze eenvoudige betrekkingen tussen de elementen, waarmee men zich bezighoudt, ontmoet; het gaat hier om de relatie van geheel tot deel of om andere relaties, die dezelfde formele eigenschappen 1., 2. en 3. bezitten en die aan de elementaire opbouw van vele gebieden van de wiskunde ten grondslag liggen. Behalve de drie hierboven genoemde voorwaarden voldoen vele gedeeltelijk geordende verzamelingen bovendien nog aan de voorwaarden: 4. Voor elk paar elementen a en b bestaat een zgn. kleinste bovengrens s, de som of de vereniging van a en b genaamd, zodat a ≦ en b ≦^s, terwijl elk element c, dat a en b bevat, óók s bevat; 5. Voor elk paar elementen a en b bestaat een zgn. grootste ondergrens p, het product of de doorsnede van a en b genaamd, zodat p ≦ a en p ≦ b, terwijl elk element d, dat in a en b bevat is, ook in p bevat is.
Eerst een twintigtal jaren geleden zien we voor het eerst een doelbewuste studie van gedeeltelijk geordende verzamelingen. De eerste schreden op dit pad zijn van Dedekind (1900), die aan dergelijke verzamelingen de naam duaal-groep gaf; een systematische studie werd eerst veel later ondernomen, door Menger (1928), die de naam „systeem van dingen” bedacht, door G. Birkhoff (1933), die de voorkeur gaf aan de naam „lattice”, door O. Ore (1935), die van „structure” spreekt evenals de Fransen, terwijl in de Duitse literatuur het woord „Verband” is ingeburgerd.
Voorbeelden van gedeeltelijk geordende verzamelingen zijn:
1. de deelverzamelingen van een ruimte;
2. de normaaldelers van een groep. In beide voorbeelden heeft de deelrelatie a ≦ b de gebruikelijke betekenis: a is deelverzameling van b.
PROF. DR F. LOONSTRA
Li.: G. Birkhoff, Lattice Theory (New York 1949); V. Glivenko, Théorie Générale des Structures (Paris 1938).
