Oosthoek encyclopedie

Oosthoek's Uitgevers Mij. N.V (1916-1925)

Gepubliceerd op 03-01-2019

Halfregelmatig lichaam (archimedisch li- chaam)

betekenis & definitie

Halfregelmatig lichaam (archimedisch li- chaam) - I. Veelvlakwaarvan alle veelvlakshoeken congruent (maar niet regelmatig) zijn, terwijl de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn; deze laatste zijn van verschillende soort; de gelijksoortige zijn echter congruent (waren alle zijvlakken congruent, dan zou het lichaam volkomen regelmatig zijn) ; alle ribben zijn even lang. Tot deze categorie I behooren: la. de rechte prisma’s, waarvan grondvlak en bovenvlak congruente regelmatige veelhoeken en de opstaande zijvlakken vierkanten zijn; li. prismoïdes, waarbij grond- en bovenvlak congruente regelmatige veelhoeken zijn, die echter zoo geplaatst zijn, dat de apothema’s van ’t bovenvlak evenwijdig zijn met de stralen van ’t grondvlak, terwijl de opstaande zijvlakken gelijkzijdige driehoeken zijn; 2U 13 lichamen, die begrensd worden door driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken, achthoeken en tienhoekon. Men kan dezo lichamen grootendeels verkrijgen door regelmatige lichamen af te stompen ; 2a. Snijdt men van een regelmatig viervlak de hoeken af zóó, dat men in elk zijvlak een regelmatigen zeshoek overhoudt, dan ontstaat een lichaam begrensd door 4 regelmatige 6-hoeken en 4 gelijkzijdige 3-hoeken; het heeft 8 zijvlakken, 12 hoekpunten, 18 ribben; 24.

Snijdt men van een kubus de hoeken af zóó, dat men in elk zijvlak een . regelmatigen achthoek overhoudt, dan krijgt men een lichaam begrensd door 6 8-hoeken en 8 3-hoeken; het heeit 14 zijvl., 24 hoekp., 36 ribben; 2c. Snijdt men van een regelmatig achtvlak de hoeken af zóó, dat men in elk zijvlak een regelmatigen zeshoek overhoudt, dan krijgt men een lichaam met 8 6-hoeken, 6 4-hoeken, 14 zijvl., 24 hoekp., 36 ribben. 2 d Snijdt men van een regelmatig twaalf vlak de hoeken af zoo, dat men in elk zijvlak een regelmatigen tienhoek overhoudt, dan krijgt men een lichaam begrensd door 12 10-hoeken en 20 3-hoeken, het heeft 32 zijvl., 60 hoekp., 90 ribben. 2e Snijdt men van een regelmatig twintigvlak de hoeken af zoo, dat men in elk zijvlak een regelmatigen zeshoek overhoudt, dan krijgt men een lichaam begrensd door 20 6-hoeken en 12 5-hoeken, het heeft 32 zijvl., 60 hoekp., 90 ribben; 2/. Snijdt men van een kubus de hoeken verder af dan in 2b, n.1. zoover, dat men in elk zijvlak een vierkant overhoudt (half zoo klein als ’t oorspronkelijke), dan ontstaat een lichaam met 6 4-hoeken en 8 3-hoeken ; dit lichaam ontstaat ook als men van een achtvlak dè hoeken verder afsnijdt dan in 2c, n.1. zoover, dat men in elk zijvlak een driehoek overhoudt (y4 van denoorspronkelijken); het heeft 14 zijvl., 12 hoekp., 24 ribben; 2g. Snijdt men van een regelmatig twaalfvak de hoeken verder af dan in 2d, n.1. zóóver, dat men weer een vijfhoek overhoudt (of van een regelmatig twintigvlak de hoeken zóóver, dat men in elk zijvlak weer een driehoek overhoudt), dan ontstaat een lichaam met 12 5-hoeken en 20 3-hoeken, het heeft 32 zijvl., 30 hoekp., 60 ribben; 2h. Knot men de hoeken van het lichaam 2/ af zóó, dat men in de voormalige driehoeken weer driehoeken (*4 grootte) overhoudt en in de voormalige vierhoeken weer vierhoeken (y2 gr.), dan zijn de afknottingsvlakken ook vierkanten en wel even groot als de andere. Men heeft dan in ’t geheel 8 3-hoeken en 18 4-hoeken (26 zijvl., 24 hoekp., 48 ribben); 2i. Knot men het lichaam 2/ zóóver af, dat men in de oude driehoekige zijvlakken zeshoeken overhoudt, dan houdt men tevens in de oude vierhoekige zijvlakken regelmatige achthoeken over ; de afknottingsvlakken zijn nu vierkanten; men heeft zoodoende 6 8-hoeken, 8 6-hoeken, 12 4-hoeken (26 zijvl., 48 hoekp., 72 ribben); 2j. Knot men het lichaam 2g zóóver af, dat men in de oude driehoekige zijvlakken weer driehoeken (y4 gr.) overhoudt en dus in de oude vijfhoekige zijvlakken weer vijfhoeken, dan zijn de afknottingsvlakken vierkanten; men heeft dan 20 3-hoeken, 12 5-hoeken, 30 4-hoeken (62 zijvl., 60 hoekp., 120 ribben); 2k.

Knot men het lichaam 2g minder ver af, n.1. zóóver, dat men in de oude driehoeken regelmatige zeshoeken overhoudt, dan houdt men tevens in de oude vijfhoeken regelmatige tienhoeken over, en de afknottingsvlakken zijn weer vierkanten ; men krijgt dan 20 6-hoeken, 12 10-hoeken, 30 4hoeken (62 zijvl., 120 hoekp., 180 ribben). Van de overige twee halfregelmatige lichamen bestaat het eene (2Z) uit vierkanten en driehoeken ; men kan het krijgen door in de zijvlakken van een kubus vierkanten te plaatsen, die wel hetzelfde middelpunt hebben, maar kleiner zijn en bovendien een schuinen stand hebben; door telkens een zijde van een dezer 6 vierkanten te verbinden met een nabijgelegen hoekpunt van een ander vierkant, krijgt men driehoekige verbindingsvlakken; bij geschikte keuze van de grootte van de zijde van het vierkant en van den hoek, dien het gedraaid is, kan men bereiken, dat de driehoeken gelijkzijdig worden; aan elk hoekpunt liggen dan 4 3-hoeken en 1 vierkant; in ’t geheel zijn er 6 4-hoeken, 32 3-hoeken (38 zijvl., 24 hoekp., 60 ribben). Het laatste lichaam (2m) krijgt men door iets dergelijks uit te voeren aan het twaalfvak ; in eiken vijfhoek construeert men een concentrischen vijfhoek, die kleiner is, en gedraaid t. o. van den ouden; men verbindt dan elke zijde met een hoekpunt van een anderen vijfhoek door driehoekige vlakken ; door geschikte keuze der afmetingen en hoeken kan men deze driehoeken gelijkzijdig maken; men heeft dan in elk hoekpunt 1 vijfhoek en 4 driehoeken ; in ’t geheel 12 5-hoeken, 80 3-hoeken (92 zijvl., 60 hoekp., 150 ribben). II. Veelvlakken, waarvan alle zijvlakken congruent zijn (maar niet regelmatig), terwijl de veelvlakshoeken regelmatig zijn; deze laatste zijn van verschillende soort. Men verkrijgt deze lichamen op de volgende manier uit de lichamen I: men beschrijft om een lichaam I een bol en brengt in de hoekpunten de raakvlakken aan den bol aan; deze raakvlakken omsluiten dan samen een lichaam van de groep II. Aan elk lichaam I is dus een lichaam van groep II toegevoegd. De lichamen I la geven dubbelpyramides II la.

I 1 b geven lichamen die bestaan uit twee t. o. van elkaar gedraaide congruente pyramides. (trapezoëders). II 2ais een triakistetraëder, d.w.z. een viervlak op welks zijvlakken als grondvlakken driezijdige pyramides zijn opgericht, en wel van zulk een hoogte, dat de 6 ribben, die in ’t hoekpunt, van ’t viervlak samenkomen, een regelmatigen zesvlakshoek vormen. II 24 is een triakisoctaëder (achtvlak met driezijdige pyramides op de zijvlakken). II 2c is een tetrakishexaëder (kubus met vierzijdige pyramides op de zijvl.). II 2d is een triakisicosaëder (twintigvlak met driez. pyr. op de zijvl.). II 2e is een pentakisdodekaëder (twaalfvlak met vijfz. pyr. op de zijvl.). II 2/ is het rhombendodekaëder (ruitentwaalfvlak). II 2g is het rhombentriakontaëder (ruitendertigvlak). De andere laten zich niet zoo gemakkelijk zonder model beschrijven.

< >