Functiëntheorie - Onderdeel der wiskunde, waarin men de verschillende functies onderzoekt naar hun eigenschappen om zoodoende te komen tot een klassificeering. Bepaalt men zich tot rcëele waarden van de onafhankelijk-veranderlijke, dan is het van belang die uitdrukkingen voor de functie te vinden, die zich het best leenen voor numerieke berekening.
Opdat y — /(x) een arithmetisch-bepaalde functie van x zij, moet een nauwkeurig omlijnde berekeningswijze voorgeschreven zijn. Bijv. in y — x2 moet men x met zichzelf vermenigvuldigen. Beschouwen we een functie in het „punt” x = a en in de naburige punten x = a + e en x = a — e; ze neemt daar de waarden /(a), /(o -fe), f(a — e)
aan. In den regel zullen de verschillen f(a + e) — f(a) en /(o) — f(a — e), door e klein genoeg te nemen, zoo klein gemaakt kunnen worden als men wil. Men zegt in dit geval, dat de functie continu (vloeiend, doorloopend) is in ’t punt x — a. In die punten, waar de functie niet con tinu is, maakt ze een sprong, of wordt ze oneindig groot. Bijv. de functie y = — wordt oneindig groot voor x = 0.
Een functie heet analytisch in een zeker gebied, wanneer ze in de punten van dat gebied ondubbelzinnig bepaald is en een bepaald differentiaalquotient heeft.
Men kan een functie y — /(x) afbeelden door x en y te beschouwen als rechthoekige coördinaten in een plat vlak. Het beeld van y = f (x) is dan een zekere kromme lijn. Deze lijn kan een regelmatig verloop hebben zoodanig bijv., dat het stuk dat ligt tusschen 2 tamelijk naburige punten l(z = a)enB(x = b) een boog is, die geen of weinig golvingen of schommelingen vertoont. Het kan echter ook gebeuren, dat de lijn zelfs tusschen 2 zeer dicht bij elkaar gelegen punten een groot aantal golvingen of schommelingen vertoont. Ja, men kan zich zelfs functies denken, waarbij binnen een eindig interval oneindig veel golvingen of schommelingen voorkomen.
Voorb. y = sin waarbij de functie in de buurt van x = 0 (bijv. tusschen x = —0.001 en x = + 0.001) oneindig dikwijls tusschen — 1 en 1 schommelt; y — x sin —.waarbij de functie in de buurt van x = 0 oneindig dikwijls heen en weer schommelt, echter tusschen uitersten ( — x en + x), die hoe langer hoe dichter bij elkaar liggen naarmate men dichter tot 0 nadert, bijv. in de buurt van x = 0.001 schommelt de functie tusschen — 0.001 en + 0.001; hier worden de schommelingen dus tevens hoe langer hoe fijner, zoodat men van kleine golvingen kan gaan spreken. Men kan zich ook functies denken, die overal oneindig fijne golvingen bezitten, zóó, dat een teekening (welke, hoe fijn ook uitgevoerd, toch niets anders is dan een strook inkt, potlood of krijt) ze niet kan weergeven, en alleen het ruwe beloop der functie kan voorstellen. De moderne functiëntheorie houdt zich vooral met dergelijke „ziekelijke” functies bezig. Ze zijn o. a. van belang in verband met de reeks waarden van x behoorende bij de toppen der golvingen; deze getallenreeks wordt dan onderzocht van het standpunt van de leer der verzamelingen. In tegenstelling met de ziekelijke (pathologische) functies, noemt men die functies, die slechts langzame golvingen vertoonen en die dus tamelijk getrouw worden weergegeven door een materieel beeld: „redelijke” functies (vernünftige Funktionen) of „gewone” functies.
Het kan ook voorkomen, dat de fijnere schommelingen van een pathologische functie zoo grillig zijn, dat het in sommige of zelfs in alle punten van de beeldkromme onmogelijk is de raaklijn te trekken, omdat men niet kan uitmaken, in welke richting het „volgende” punt ligt. Zulk een functie heeft dus in de betreffende punten geen bepaald differentiaalquotient. Weierstrasz is in 1861 voor ’t eerst met een dergelijke functie voor den dag gekomen, n.l. y =» cos x + + bcosax-)b2 cosa2 x -jbscosa3x + ...., waarbij a een oneven getal en b een positief getal kleiner dan 1 is.
Onder de gewone functies zijn sommige van groot belang voor de toegepaste wiskunde (o. a. in de natuurkunde). Ze zijn dan ook getabuleerd. Het onderzoek naar de eigenschappen der in de praktijk gebruikelijke functies betreft o. a. de plaatsen waar de functie nul wordt (nullen), en waar ze oneindig wordt; deze laatste punten kunnen van verschillend karakter zijn. Bijv. voor x = a wordt zoowel y = 7 — j (x — o)B als z — e ° oneindig groot, maar terwijl men het oneindig worden van y kan verhinderen door vooraf met een zekere macht (x — a)m van x — a te vermenigvuldigen (m > n),is dat niet mogelijk ~1 bij z, immers (x — a)m ex ° blijft voor x — a oneindig groot, welke waarde m ook heeft. In ’t geval van y heet het punt x = a een p o o van de functie, en wel een pool van de «« orde. In ’t geval van z heet het punt x = a een wezenlijk singulier punt.
Vela der meest gebruikelijke functies met reëele veranderlijke worden gedefinieerd als oplossing van een differentiaalvergelijking. De ligging der „singuliere” punten kan dan dikwijls onmiddellijk uit den bouw der differentiaalvergelijking afgeleid worden.
De functiëntheorie behandelt vooral het gedrag van een functie, wanneer men aan de veranderlijke alle mogelijke complexe waarden toekent. Noemt men de onafhankelijk veranderlijke hier z, haar reëel deel x, haai imaginair deel iy, zoodat z = x + iy, dan beschouwt men dus w = ƒ (z)
de waarde van w is in ’t algemeen ook complex:
w — u + iv.
Bijv.
1° is w = z2 of w = = (x + iy)2 = x2 — y2 + 2 ixy, dan is w = x — — y2, v = 2 xv;
2° is w — —olw = —= 9 9 z x + iy _ x — iy x?+y2'
dan is u = x2 + y2 V '+ y is w = ez of w = e x + iy —ex- =ex (cos y + + isiny dan is w = e® cos y, v == ex sin y;
4° is tv = elog z, dus z = ew = e“ ® of x + iy = _ gtt + tv |(Jan jS X _ g« C0S V< y — eu sin v< <jua x2 + y2 = e2u en = tg v of u = log Vx2 + y2, v = bglg In al deze gevallen is zoowel u als v een functie van x en y: u (x,y) en v(x, y). Elke functie u (x, y) kan niet met elke andere functie v (x, y) verbonden worden tot w = u + i v zóo, dat w te beschouwen is als een functie van de combinatie x + t y. Bijv. u = x2, v = y2 geven w — x2 + +1 y2, hetgeen niet kan geschreven worden als een functie van x + iy. Opdat tv = tt + i v wèl een functie zij van z = x + i y, moeten u en v aan twee betrekkingen voldoen, de differentiaalvergelijkingen van Cauchy-Riemann: zoowel « als v voldoen dan ieder dy dx V voor zich aan de differentiaalverg. van Laplace:
^ —%■ = 0 (afgekort tot /\<p — 0)
en heeten als zoodanig „harmonische” functies. Voldoen u en v inderdaad aan deze voorwaarden, dan heet tv = u (x, y) + i v (x, y) een monogene functie. Men kan het complexe getal z — x + i y in een plat vlak afbeelden door het punt z, welks rechthoekige coördinaten zijn x en y. Evenzoo kan men het complexe getal w — u + i v in een ander plat vlak afbeelden door een punt w welks rechthoekige coördinaten zijn u en v. Men heeft dus twee „complexe vlakken”, het z-vlak en het tü-vlak. Aan elk punt (z) van het z-vlak wordt door de betrekking tv = f (z) een punt (w) van het w-vlak toegevoegd. Bijv. door tv = z2 of u = x2 — y2, v = 2xy wordt aan het punt x — 1, y — 2 (vertegenwoordigend het getal z = 1 + 2») toegevoegd het punt M = l2 — — 22 = — 3, v = 2 x 1 x 2=4 (vertegenwoordigend het getal tv = — 3 + 4 i = (1 + 2i)2). Het kan ook voorkomen dat met één punt z verschillende punten tv overeenkomen en met één punt tv verschillende punten z. Zoo behoort bij w = — 3 + 4» behalve z = 1 + 2 i ook z = «= — (1 + 21) = —• 1 — 21, daar beide getallen z tot 2e macht hebben tv = — 3 + 4 t. Laat men het punt z in 't z-vlak een zekere kromme lijn doorloopen, dan beschrijft het punt tv in ’t io-vlak eveneens een kromme lijn, en omgekeerd, bijv.: laat men bij de functie tv = x2 het punt tv zich bewegen langs een cirkel met straal 4 om ’t nulpunt (waarvoor dus geldt u2 + o2 = = 16), dan beschrijft het punt z de kromme lijn, waarvan de vergelijking is (x2 — y2)2 + + (2 xy)2 = 16, of x4 — 2 x2 y2 + y + 4 x2 y2 — — x + 2 x2 y2 + i/1 = (x2 + y2)2 = 16 of x2 + + y! = 4, dus een cirkel om ’t nulpunt met straal 2. Met elke figuur in ’t z-vlak komt zoodoende overeen een figuur in ’t w-vlak, of — zooals men zegt —: het z-vlak wordt „afgebeeld” op het te-vlak. Hoe ook de betrekking tv = / (z) tusschen tv en z moge zijn, steeds vertoont deze afbeelding de eigenaardigheid, dat een hoek (tusschen twee rechte of kromme lijnen) in ?t z-vlak afgebeeld wordt door een evengroot e n hoek in ’t IK-vlak en dat twee overeenkomstige figuren, naarmate ze kleiner afmetingen hebben, des te nauwkeuriger gelijkvormig zijn. Deze soort afbeelding die z.g. „gelijkvormig in de kleinste deelen” is, heet conform.— Onder de punten, die bij een functie van een complexe veranderlijke de bijzondere aandacht verdienen, behooren 1° de punten z = A (z.g. „nullen") waar de functie de waarde 0 aanneemt: f (1) = 0, bijv.: w = (z — 1) (z — 2) heeft nullen in z = 1 en z = 2, tv = sin z heeft nullen in z = 0 n,2 7i, ....;
2° de punten waar de functie oneindig groot wordt; hiertoe behooren 2 a) de z.g. „polen,” d. z. die waarden ft van z, die wel / (z) oneindig maken, maar waarbij men het oneindig worden kan verhinderen door de functie ƒ (z) vooraf met een zekere macht van z — fi te vermenigvuldigen, zoodat f (ft) = co, maar (z — ft)» x x / (z) = eindig (c.q. nul). Is m de kleinste waarde van den exponent, die het oneindig worden verhindert, dan heet de pool ft van de m‘ orde;
bijv.: tv 1 + 3z z3 (z2 + 1)
heeft in z = 0 een pool van de 3e orde, in z = -f t en in z = — i een pool van de le orde, immers z3.tv = ^ ^ 2 wordt gelijk 3 z + 1 aan 1 voor z3 (z + i) wordt gelijk aan z2+ 1 z = 0, (z — i).tv = 3 i + 1 1+3» — i x 2» (z +»).«>= \( + \ ' ' z3 (z — t)
wordt voor z = i;
2 b) de wezenlijk singuliere punten, d. z. de punten co, waarvoor / (<o) = co, maar zóo, dat geen enkele waarde van n de oneindigheid van (z — co)» x X f (z) voor z = co kan verhinderen (zie boven bij de functies van een reëele veranderlijke); 3° bij veelwaardige functies de z.g. vertakkingspunten, d. z. de punten, waarvoor 2 of meer waarden van de functie samenvallen; bijv. de functie tv — ——— heeft wegens de dubbelzinnigheid van den vierkantswortel 2 waarden, deze vallen samen daar waar v'z2 — 1 = = 0 is, dus voor z = + lenz = — 1; de punten z = + lenz = — 1 zijn nu de vertakkingspunten van deze functie. De onder 2) en 3) genoemde oneindigheidsen vertakkingspunten zijnkritieke punten, wier ligging in ’t vlak het gedrag van de functie beheerscht. — Een functie, die binnen een zeker gebied in ’t z-vlak geen vertakkingspunten heeft, heet in dat gebied regulier. Men kan dan de functie in de omgeving van elk punt z=a schrijven in den vorm van een reeks naar opklimmende machten van z — a: f (z) = = A0 + (z — a) Ax + (z — a)2 +2 + .. (in deze reeksontwikkeling (Taylor) is A0 = f (a), At — f' (a), A, = V2 f" (a), .. — Een functie, die binnen een zeker gebied nóchwertakkingspunten nóch oneindigheidspunten heeft, heet daarin holomorph (of synectisch). De „geheele” functies worden slechts oneindig voor oneindige waarden van z, z = 00 is dus hun eenige pool of wezenlijksingulier punt. De geheele functies zijn dus holomorph in ’t geheele eindige complexe vlak. Geheele functies zijn bijv.: tv = p0 + p» z + ps za + + .. + Vmzm(z — 00 is een tn-voudige pool); tv = e, z = co is een wezenlijk-singulier punt. Een functie, die binnen zeker gebied slechts een eindig aantal polen heeft, heet daarbinnen meromorph; bnv. w=—,— +-L— ig <z-fix)mi(z-fiz)m, meromorph in ’t geheele vlak.
Bij een tweewaardige functie tv = / (z) (bijv. w = ± Vz2—1) komen met 1 waarde van z 2 verschillende waarden w1 en iv2, van w (als men wil: 2 verschillende functies = f1 (z) en ui2 = /2 (z) overeen (bijv. + v'z2 — 1, w, = — v'z2 — 1). Men kan nu het z-vlak dubbel belegd denken; het bestaat dan uit 2 bladen, zóo, dat de punten van ’t eene blad dezelfde waarden van z aanwijzen als de vlak daaronder gelegen punten van het tweede blad. Op het eene blad denkt men zich nu de waarde z afgebeeld, voorzoover ze de ééne functiewaarde tv1 levert, en op ’t andere blad dezelfde waarde 0, voorzoover ze de andere functie waarde tra bepaalt. Blijft men dus met 0 in het eerste blad, dan beteekent dat, dat men steeds met de eerste waarde w1 = fx (0) van w bezig is. Nu zijn er bij een tweewaardige functie minstens 2 vertakkingspunten, waarvoor de beide functiewaarden samenvallen, bij w = ± vV — 1 zijn dat 0 = + 1 en 0 = — . In deze punten moeten de beide bladen dus samenhangen. Men brengt nu in beide bladen langs dezelfde lijn een doorsnede aan van 't eene vertakkingspunt 0 = a naar 't tweede puntz = /?; bijv. bij a = — 1 en fl — +1 kan de doorsnede vallen langs het stuk van de reëele as gelegen tnsschen ï = 1 en 1 = +1. Men hecht vervolgens den eenen rand van het bovenste blad aan den anderen rand van 't onderste blad (zoodat de beide verbindingen elkaar doordringen V ). Laat men dus in het eene blad het punt 0 zich zoo bewegen, dat zijn baan de „vertakkingssnede” passeert, dan vervolgt het punt 0 zijn weg in het andere blad. De beide bladen met hun aanhechting vormen tezamen een z.g. oppervlak van Riem a n n. Dank zij de aanhechting kan het punt 0 het geheele oppervlak doorloopen.
Daar elk blad zijn eigen functiewaarde heeft, komt met een bepaald (öf in ’t eene, of in ’t andere blad gelegen) punt 0 slechts één waarde van w overeen. Op het oppervlak van Riemann is dus de functie éenwaardig gemaakt. Terwijl bij een tweewaardige functie het opp. v. Riemann uit 2 bladen bestaat, bestaat het bij een «-waardige functie uit n bladen; daarbij kunnen soms 3 of meer bladen met elkaar samenhangen volgens dezelfde vertakkingssnede. De studie van den aard der vertakkingspunten van veelwaardige functies en van den samenhang der bijbehoorende oppervlakken van Riemann is een der belangrijkste in de functientheorie. De dikwijls zeer moeilijke samenhangsproblemen bij de opp. van Riemann behooren thuis in de analysis situs of topologie. In de functientheorie spelen ook integralen r z2 van den vorm/Z1 /(s)ds een belangrijke rol.
Bij de integraal t (z) dz moet 0 loopen van z1 naar sa; maar daar 0 de beschikking heeft over een heel vlak, heeft 0 de keus tusschen tallooze banen, die alle in zx beginnen en in 02 eindigen; bijv. is 0j = — 1, 0j = + 1, dan kan 0 zich bewegen 1° langs de lijn der reëele getallen (x — as of reëele as), 2° langs den halven cirkel met straal 1 om het nulpunt, 3 langs de twee opstaande zijden van eiken driehoek, dien men op de verbindingslijn van 0j en 02 kan construeeren, enz. Het is nu de vraag, of de waarde van die integraal bij eiken „integratieweg” verschillend is, dan wel of alle integratie wegen tot dezelfde uitkomst leiden. Gaat men van zx naar 02 langs de baan L en is de waarde van de integraal A, dan zal men, door langs dezelfde baan van ’t eindpunt 02 naar ’t beginpunt 0j te gaan, voor de integraal de tegengestelde waarde — A krijgen (immers alle functiewaarden keeren terug met een tegengestelde dz); de totale weg van zx naar 02 en terug levert dan voor de integraal de waarde 0. Wanneer men nu echter teruggaat langs een andere baan L', die op den heenweg de waarde A' zou hebben opgeleverd, dan zou de totale integratie van zx langs L naar 02 en langs L' naar 02 terug voor de integraal hebben opgeleverd de waarde A — A', dus niet 0. Leveren nu echter alle banen L, L', L", .. van 0j naar 02 dezelfde waarde A (A = A’ = A" — ..), dan krijgt men langs welken anderen weg men ook teruggaat, steeds voor de totale integraal de waarde 0 . De integraal / f (0) dz, genomen langs een gesloten kromme K i3 dan steeds / De integraal fKt (z) dz is nul, zoolang K een gebied omluist, waarin de functie holomorph is. Daar we steeds op een opp. van Riemann zullen blijven werken, beteekent dit, dat de kromme K geen oneindigheidspunten mag omsluiten. Wanneer n een pool is van de m® orde, wil dat zeggen, dat f (s) = = m' ’ waarbij 3(0) geen breuken meer bevat met den noemer 0 — fi. Men kan echter g (0) schrijven in den vorm van een reeks van Taylor:
en men krijgt dan een geheele functie van (0 — /z), dus iets van den vorm: / (0) = -——).. —Pm—i .
(0 — ft)» (0 — fi,™-! 1 .. + + G (0 — ,u).
Men noemt nu, in navolging van Cauchy, pv d. i.den teller van (0—//)‘, het residu van de functie voor de pool z — /j,. Omsluit de kromme K den pool fi, dan is de integraal f(z) dz gelijk aan 2 .vi x het residu van de pool /t. Past men deze stelling toe op de integraal ( d log f (0), dan vindt men: . [ d log / (0) = K Jtl j ’t aantal nullen l minus ’t aantal polen fi, omsloten door K (waarbij elke nul en elke pool even dikwijls in rekening wordt gebracht als haar orde bedraagt). Verder stelt de formule / («) = f ^ ^ ^ in staat de waarde, die de functie in een punt 0 = a aanneemt, te berekenen uit een integraal, die genomen wordt langs een kromme K die het beschouwde punt omsluit.
Wordt een functie bepaald door een machtreeks in de buurt van een gewoon punt z — a .... / (0) = Ag -f (0 — a) + + (0 — a)2 Ai + ...., zoo is deze reeks alleen dan volkomen betrouwbaar, wanneer ze z.g. absoluut convergent is; daarvoor is echter noodig, dat de afstand van ’t punt 0 tot het uitgangspunt a een gegeven bedrag ft.niet overschrijdt. Het convergentiegebied wordt zoodoende omsloten door een cirkel om het punt a met straal ft, den z.g. „convergentiecirkel”. Deze convergentiecirkel mag geen oneindigheidspunten omsluiten; de convergentiestraal ft is dus gelijk aan den afstand van a tot het naastbij gelegen oneindigheidspunt. Heeft men aldus do functie berekend voor een punt z = o' binnen den convergentiecirkel R (om a), dan kan men a' als middelpunt kiezen van een reeksontwikkeling ƒ (z) = Ao' + (z a') Ai + (z a'f As' -f....; deze reeks heeft dan een convergentiecirkel om a' als middelpunt met straal R' gelijk aan den afstand van a' tot het dichtst bij a' gelegen oneindigheidspunt. Deze cirkel R' (om a') zal een deel met den cirkel R (om a) gemeen hebben, maar ook een stuk kunnen bevatten, dat buiten R (a) ligt. Zoodoende is het gebied uitgebreid, waarbinnen de functie door een machtreeks bepaald is; men spreekt, met Weierstrasz, van de analytische voortzetting van de functie.
Men kan door een nieuw middelpunt a" te kiezen een nieuwe reeksontwikkeling ƒ (z) = = A0" + (z a") A," + (z a"f A2" + .... krijgen met een nieuwen convergentiecirkel R" (a"), die een nieuw deel van ?t vlak aanbrengt. Zoodoende krijgt men de functie / (z) door analytische voortzetting (anal. uitbreiding) gedefinieerd in ’t geheele vlak, behalve in die deelen, waarbinnen geen enkele convergentiecirkel kan binnendringen. Een aldus gedefinieerde functie heet een analytische functie. Het uitgesloten deel van !t vlak kan beperkt zijn tot enkele losse punten: polen of wezenlijk-singuliere punten. Het kan echter ook voorkomen, dat er oneindig veel wezenlijk-singuliere punten zijn, die samen een gesloten keten (een singuliere lijn) vormen en zoodoende het daardoor omsloten deel van ’t vlak ontoegankelijk maken voor de analytische voortzetting. Een functie waarbij dit plaats heeft, bezit een z.g. „natuurlijke grens” (function a espaces lacunaires).
Een zeer belangrijke klasse van functies vormen de z.g. automorphe functies. Onderwerpt men z aan een groep van n lineaire substituties (waaronder de identiteit):
Sa (z) = z, S2 (z) = S, (z) “2 Z -jS'n-i(z) = n z + <51 an—rz-)-/?«—1 y2 z + ü2 yn—iz+<5»—i dan gaat een aanvangswaarde z0 over in S\ (z0) =Zj, S2 (z0) = z2, .. <S'n—i (z„) = Zn—i; de n aldus verkregen waarden van z (z0, zx, z2, .. Zn—i) vormen een groep; elke aanvangswaarde z0 vormt zoodoende één en slechts één groep; bijv.
(de z.g. rechthoeksgroep) voegt aan z0 = 2 de getallen z1 = — 2, z2 = z3 = — ^ toe, aan 1 Zo = g de getallen z2 = — -, z2 2, Zg — — 2 (dus dezelfde groep als die van z0 = 2); aan z0 = 1 + t de getallen z2 = — 1 — i, z2 = =-—z, = enz. Er zijn nu functies w = / (z), die zoo gebouwd zijn, dat ze voor alle n waarden van z uit dezelfde groep dezelfde waarde w aannemen. Bijv. tu = (z-f—J neemt voor z0, — zn, — > — i dezelfde waarde (z„ 4—^ Zn aan: z0 = 2, z2 = — 2, z2 = — z3 = — — geven . Zulk een groep van substituties kan ook oneindig veel elementen bevatten; zoo bijv. de groep S (z) — aZ~^, yz +S waarbij a, f), y, S geheele getallen zijn, die voldoen aan ad — Py = + l (bijv.: a = 1,/? = 0, y = 1, <5 = 1, 8 de z.g. modulusgroep.
Elke functie to = /(z) nu, die dezelfde waarde aanneemt voor een groep waarden van z, die uit elkaar volgen door een groep lineaire substituties,, heet automorphe functie. Hiertoe behooren o. a. de periodisch e functies (bijv. zin 2nz, die dezelfde waarde aanneemt voor z0, z2 = z0 + 1, Za = z0 + 2, zs = z0 + 3, .... enz.) eveneens de dubbelperiodische functies (elliptische functies); hierbij kan men z vervangen door z -f ft o + ifc' co', waarbij a> en co' de beide perioden zijn en ft en ft' twee willekeurige geheele getallen. Deze perioden kunnen niet gelijktijdig reëel zijn (zie verder bij ELLIPTISCHE FUNCTIES). De theorie der functies van een complexe veranderlijke is gegrondvest door Cauchy en verder ontwikkeld door Riemann, Weierstrasz, Schwarz, Klein, Fuchs, Poincaré, Appell, Borei, Hermite, Mittag-Leffler. Men raadplege : H. Burkhardt, Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen (Leipzig, Veit & Co., 1903); J. Petersen, Vorlesungen über' Funktionentheorie (Kopenhagen, Hast & S., 1898); G. Kowalewski, Die complexen Veränderlichen und ihre Funktionen (Leipzig, Teubner, 1911): E. Borei, Leçons sur la théorie des fonctions (Paris, Gauthier-Villars, 1898); E. T. Whittaker, A course of modem analysis (Cambridge, Univ. Press., 1902); R. Fricke-F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen (Leipzig, Teubner, 1897—1912).
