Oosthoek Encyclopedie

Oosthoek's Uitgevers Mij. N.V (1916-1925)

Gepubliceerd op 27-06-2020

ideaal

betekenis & definitie

[➝Gr. idea, aanblik, soort, wezen, idee],

I. zn. o. (idealen),
1. voorstelling van iets in de toestand van volkomenheid: zij benaderde het — van vrouwelijke schoonheid;
2. een voorstelling van iets dat men verwezenlijkt hoopt te zien, waarnaar men streeft en dat men zich voorstelt als het hoogste: het — van zijn jeugd was dokter te worden; zich idealen scheppen;
3. persoon of zaak die zo’n voorstelling belichaamt: zij had haar — gevonden;
4. (abs.) het verhevene, hogere;
5. (wiskunde) een verzameling met bepaalde eigenschappen (e);

II. bn.,

1. wat aan de idee, de voorstelling van het volmaakte, beantwoordt: de ideale jeugd;
2. (in verzwakte betekenis) bijna volmaakt: een gedrag; ideale toestanden, die men zich niet beter wensen kan; iets — vinden, overheerlijk, goddelijk; dat lijkt mij niet — toe, verre van plezierig;
3. slechts met de geest waarneembaar (bovenzinnelijk); in gedachte aanwezig (denkbeeldig).

(e) WISKUNDE. Wanneer R een ➝ring is en I een niet-lege deelverzameling van R, dan noemt men I een ideaal van R indien voldaan is aan de twee volgende voorwaarden:

1. als a∈I en b∈I dan geldt ook a—b∈I;
2. als a∈I en r∈R (niet noodzakelijk r∈I), dan geldt ar∈I en ra∈I. B.v. in de ring Z der gehele getallen is de verzameling van alle n-vouden (n vast) een ideaal van Z.

De definiërende eigenschappen van een ideaal zijn in feite generalisaties van de beide hoofdeigenschappen van de deelbaarheid, te weten:

1. als a en b (beide ∈Z) deelbaar zijn door n, dan is hun verschil deelbaar door n;
2. als a deelbaar is door n, dan is elk veelvoud van a ook deelbaar door n. Men ziet dan verwantschap met de definitie van ideaal indien men de woorden deelbaar door n vervangt door behoort tot de n-vouden. Voor de ring Z kan men bewijzen dat ieder ideaal van Z een hoofdideaal is, d.w.z. bestaat uit alle veelvouden van een vast getal, de voortbrenger van het ideaal. Hierop berust het bewijs van de hoofdstelling van de rekenkunde die zegt dat ieder geheel getal op slechts één manier te schrijven is als een produkt van priemfactoren, afgezien van de volgorde van de factoren (➝priemgetal).