Het onderzoek van wiskundige begrippen en systemen en van de wijze waarop wiskundige uitspraken gerechtvaardigd worden.
De fundamentele objecten van de wiskunde zijn getallen: natuurlijke, reële, enzovoort (zie Russell). Of getallen abstracte entiteiten zijn, en hoe we daarover beslissen, zijn vragen waardoor dit gebied verbanden heeft met de metafysica (vgl. zijn). Platonisten of realisten menen dat getallen abstracte entiteiten zijn en dat wiskundige theorema’s, met inbegrip van die over oneindige getallen, onafhankelijk van onze onderzoekingen waar zijn. Formalisten bestrijden dat, en meer in het algemeen benadrukken constructivisten dat de wiskunde afhangt van de activiteit van wiskundigen (zie intuitionisme, finitisme). Men heeft getallen gedefinieerd in termen van klassen of verzamelingen, die weer worden bestudeerd in de verzamelingenleer (ygl. calculus). De definitie van ‘equinumerieke klasse’ stelde G. Cantor (1845- 1918) in staat de theorie der oneindige getallen te ontwikkelen. Een klasse is equinumeriek met een andere klasse als voor ieder element van de ene klasse precies één daaraan beantwoordend element van de andere klasse kan worden gevonden. Dank zij deze definities kunnen de klassencalculus en de verzamelingenleer worden gebruikt om de wiskunde te axiomatiseren (vgl. axiomastelsel, logica). Wel ontstaat er wat betreft klassen een moeilijkheid door de paradox van russell. Desondanks hebben logicisten (met name Frege en Russell), die menen dat de wiskunde geheel herleidbaar is tot logica, voor de axiomatisering van de wiskunde klassen gebruikt. Zij menen dat mathematische objecten via klassen gedefinieerd kunnen worden in logische termen, en dat wiskundige bewijzen tot logische bewijzen kunnen worden herleid. Maar er rijzen moeilijkheden wanneer men uit axioma’s die redelijkerwijze als zuiver logisch beschouwd kunnen worden het bestaan van klassen in het algemeen wil bewijzen.
De meetkunde heeft betrekking op de ruimte en werd daarom aanvankelijk beschouwd als fundamenteel verschillend van de rekenkunde. De opvattingen van Kant over de ruimte riepen de vraag op hoe de verschillende geometrieën, met name de Euclidische meetkunde, die van Riemann en die van Lobatsjevski, zich tot elkaar en tot de werkelijke ruimte verhouden. In de rekenkunde rijst de vraag hoe de verschillende algebra’s zich tot elkaar en tot de wereld verhouden (vgl. axiomastelsel). Deze vragen houden weer verband met de vraag of onze kennis van wiskundige begrippen en proposities empirisch is, zoals in het bijzonder J.S. Mill meende, dan wel A priori. Moderne ontwikkelingen rond al deze vragen hebben geleid tot een unificatie van rekenkunde en meetkunde.
Enkele andere vragen zijn: wat is waarheid in de wiskunde, en welk verband heeft zij met bewijsbaarheid? Is iedere wiskundige waarheid bewijsbaar (vgl. GÖdel, stellingen van), en kunnen we wiskundige waarheden behalve door bewijs ook door onmiddellijk inzicht kennen?
B. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, 1919. (Algemeen.) E.W. Beth, Wijsbegeerte der wiskunde, 1948, en Wijsgerige ruimteleer., 1950.
(Samen een gedegen overzicht, leesbaar ook voor niet-wiskundigen.)
S.F. Barker, Philosophy of Mathematics, 1964. (Elementair.)
M. Combès, Fondements des mathématiques, 1971 (Grondslagen van de wiskunde, 1973). (Elementair.)
S. Körner, Philosophy of Mathematics, 1960. (Moeilijker.)
P. Benacerraf en H. Putnam (red.), Philosophy of Mathematics, 1964. (Belangrijke verzameling van artikelen, van uiteenlopende moeilijkheidsgraad.)
G. Frege, Grundlagen der Arithmetik, 1884. (Tamelijk elementaire bespreking van getallen enzovoort vanuit Platonistisch en logicistisch standpunt door een van de pioniers van de moderne logica. Bevat een meer technische appendix over de paradox van Russell.)
H. Wang, ‘Process and existence in mathematics’, in Y. Bar-Hillel e.a. (red.), Essays on the Foundations of Mathematics, 1962. (Legt een aantal kernpunten in betrekkelijk eenvoudige taal uit.)
G. Ryle, C. Lewy, K.R. Popper, ‘Why are the calculuses of logic and arithmetic applicable to reality?’, Proceedings of the Aristotelian Society, supplementary volume, 1946.
I. Lakatos, Proofs and Refutations, 1976 (oorspronkelijke versie 1963-64). (Uitvoerige bespreking in dialoogvorm, met historische verwijzingen, van de genese van enige problemen rond het begrip bewijs.)
L. Goddard, ‘ “True” and “provable” ’, Mind, 1958. (Vgl. de discussies hierover in Mind, 1960,1962.)
