Elke leer (zoals bijvoorbeeld de filosofie van Bergson) waarin de rol van de intuÏtie wordt benadrukt. Het mathematisch intuitionisme, waaraan vooral de namen van L.E.J. brouwer (1881-1966) en A. Heyting (1898-1980) zijn verbonden, beperkt het uitgangsmateriaal van de wiskunde tot wat in de intuitie gegeven is.
In het bijzonder weigeren intuitionisten aan te nemen dat oneindige verzamelingen werkelijk bestaan, al kennen ze wel regels die steeds grotere eindige verzamelingen voortbrengen. Het intuitionisme is een vorm van constructivisme, dat alleen entiteiten (getallen enzovoort) toelaat waarvan we weten hoe we ze moeten construeren, d.w.z. hoe we ze systematisch moeten specificeren in termen van zaken die we al aannemen. Maar het intuitionisme eist bovendien dat we in de wiskunde iets alleen dan waar of onwaar noemen als we hetzij het intuitief weten, hetzij weten hoe we de waarheid of onwaarheid ervan kunnen aantonen, waarbij alleen voor de intuitie toegankelijke stappen zijn toegestaan. (Een bewijs van het bestaan van iets is daarom alleen aanvaardbaar als het laat zien hoe dat iets geconstrueerd kan worden.) In verband hiermee voert het intuitionisme een speciaal soort wiskundige negatie in, die tot gevolg heeft dat we een (niet contraintuitieve) propositie alleen dan kunnen ontkennen als we kunnen bewijzen dat zij onwaar is. Omdat de intuitionisten menen dat sommige (niet-intuitieve) wiskundige proposities noch bewezen noch weerlegd kunnen worden, is in hun opvatting de wet van het uitgesloten derde niet op dit soort negatie van toepassing. Over de negatie buiten de wiskunde hebben ze geen eenstemmig standpunt.
Ook formalisten beperken de wiskunde tot wat we in zekere zin in onze macht hebben. Sommigen van hen (bijvoorbeeld H.B. Curry) laten de wiskunde bestaan uit formele systemen waarvan de elementen niet meer dan symbolen of betekenisloze tekens zijn, die volgens vaste regels kunnen worden bewerkt. De wiskunde gaat niet over abstracte objecten zoals getallen of klassen waarnaar, zoals men zou denken, die tekens verwijzen. Volgens D. Hilbert (1862-1943), de beroemdste formalist, blijkt uit de logische paradoxen dat de niet-finitistische wiskunde (zie finitisme ) rechtvaardiging behoeft. Hij interpreteerde haar daarom als formeel systeem en gebruikte finitistische middelen om de consistentie van dit systeem te bewijzen (vgl. metamathematica). Zie ook intuÏtie, bibliografie, voor het ethisch intuitionisme.
P. Benacerraf en H. Putnam (red.), Philosophy of Mathematics, 1964, i.h.b.
pp. 66-77 (Brouwer) en 134-151 (Hilbert).
G. T. Kneebone, Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics, 1963. (Op pp. 243-250 geeft hij een elementaire uiteenzetting over het intuitionisme en wijst hij op het verband met Kant.)
S. Körner, The Philosophy of Mathematics, 1960. (Bevat een uitgebreide behandeling van intuitionisme en formalisme.)
W. en M. Kneale, The Development of Logic, 1962. (Zie de index.)
W.V. Quine, Philosophy of Logic, 1970, pp. 87-88. (Intuitionisme en constructivisme.)
D. van Dalen, ‘Brouwer en het solipsistische wereldbeeld’, Algemeen Nederlands Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 1981. (Brouwers mystiek-solipsistische wereldbeeld mede als achtergrond van zijn intuitionisme.)
