De waarschijnlijkheidsleer, kansrekening of waarschijnlijkheidsrekening is de wiskundige theorie die ten grondslag ligt aan waarschijnlijkheidsredeneringen en aan de meeste (maar niet alle) inductietheorieën met een mathematische basis. (Zie confirmatie, waar ook het verband tussen confirmatie en waarschijnlijkheid wordt besproken.) Deze theorie geeft elementaire regels die bepalen welke resultaten we kunnen verwachten als we met dobbelstenen gooien of knikkers uit een zak trekken.
Zij omvat ook de stelling van bayes, en onderwerpen als de wet van de grote getallen . De resultaten in deze theorie zijn zuiver wiskundig, het zijn geen voorspellingen over hoe werkelijke dobbelstenen e.d. zich zullen gedragen. De theorie wordt slechts gebruikt om de logische gevolgen van gegeven premissen te bepalen. Er zijn verscheidene theorieën opgesteld over wat waarschijnlijkheid is. In de klassieke theorie wordt de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis gedefinieerd als de verhouding van het aantal alternatieven waarbij de gebeurtenis in kwestie zich voordoet tot het totale aantal in de gegeven situatie mogelijke alternatieven. Bij het werpen van twee dobbelstenen zijn er 36 verschillende mogelijke resultaten, bij 11 waarvan ten minste één zes boven komt; de waarschijnlijkheid dat er een of twee zessen boven komen bij een worp met twee dobbelstenen is dus 11/36. Maar de andere mogelijkheden moeten equiprobabel (gelijkelijk waarschijnlijk) zijn (soms wordt ‘equispecifiek’ geprefereerd omdat ‘equiprobabel’ circulair klinkt in een analyse van 'waarschijnlijk’). Het is onduidelijk hoe dit gegarandeerd kan worden. Bij pogingen daartoe heeft men vaak gebruik gemaakt van het in differentie principe. Weer andere moeilijkheden doen zich voor als men over de waarschijnlijkheid van theorieën (zoals bijvoorbeeld de evolutietheorie) wil spreken, en in gevallen waarin de alternatieven niet eindig en welomschreven in aantal zijn, bijvoorbeeld wanneer het gaat om de waarschijnlijkheid dat alle, ook toekomstige zwanen wit zijn. De paradox van bertrand en diens dozenparadox zijn hier van belang. In zijn ‘bereik’-theorie tracht Kneale enkele van deze problemen op te lossen. (Ook elders wordt ‘bereik’ gebruikt.) Bij Carnap is het bereik van een propositie de verzameling van de met die propositie verenigbare toestandsbeschrijvingen (zie confirmatie).
In de frequentietheorie wordt waarschijnlijkheid gedefinieerd als de verhouding van het aantal keren dat iets werkelijk gebeurt tot het aantal keren dat het zou kunnen gebeuren. Als het percentage rokers dat aan longkanker sterft constant 10 procent blijft, dan is de waarschijnlijkheid dat een roker aan longkanker sterft 10 procent. Wanneer waarschijnlijkheid wordt gedefinieerd als de frequentie in een eindige verzameling kan men ten prooi vallen aan de drogreden van de gokker . Om deze en andere redenen wordt waarschijnlijkheid gedefinieerd als de limiet, in wiskundige zin, waartoe de frequentie nadert als het aantal gebeurtenissen toeneemt. Toch spreken we vaak van de waarschijnlijkheid van individuele gebeurtenissen, bijvoorbeeld van de waarschijnlijkheid dat Jansen aan longkanker zal sterven, en het is omstreden of, en zo ja hoe, men dit in de frequentietheorie kan verantwoorden. Bovendien ontstaat met het begrip limietfrequentie het probleem dat bij een oneindige of niet-afgesloten reeks, zoals worpen met een munt, ieder resultaat van een eindig aantal worpen verenigbaar is met iedere limietfrequentie. Als een gulden een miljoen maal achtereen op kruis valt kan de limietfrequentie van het alternatief ‘kruis’ nog altijd een half zijn (misschien valt de gulden de volgende miljoen maal steeds op munt). Het lijkt dus dat we bij het toepassen van deze theorie dingen moeten zeggen als ‘waarschijnlijke de limietfrequentie ...’ of ‘waarschijnlijk zal het aantal longkankerpatiënten onder rokers gelijk blijven’, waarbij ‘waarschijnlijk’ ongedefinieerd blijft.
Popper wil de frequentietheorie vervangen zien door zijn eigen propensiteitstheorie, waarin waarschijnlijkheid wordt gedefinieerd als een neiging (propensiteit) van de objecten zelf, bijvoorbeeld van een dobbelsteen om met zes boven te komen. Popper meent dat neigingen evenmin mysterieus zijn als zwaartekrachtvelden, maar daarmee is niet de vraag beantwoord wat deze theorie nu precies inhoudt en hoeveel gevallen zij bestrijkt. De logische theorie houdt in dat waarschijnlijkheid een logische relatie tussen evidentie en een conclusie is, te vergelijken met de relatie logisch gevolg (zie implicatie en gevolg) maar dan zwakker. Een waarschijnlijkheid is dan dus altijd relatief ten opzichte van de evidentie. Afgezien van de moeilijkheid om een dergelijke relatie te vinden, is een van de tekortkomingen van deze theorie als analyse van ‘waarschijnlijk’ de volgende. Als we weten dat een propositie p waar is en dat een propositie q er logisch uit volgt, dan kunnen we q asserteren; maar als p alleen maar q waarschijnlijk maakt, dan kunnen we op zijn best concluderen tot ‘waarschijnlijk cj, waarbij ‘waarschijnlijk’ ongedefinieerd blijft - en zelfs dit kunnen we niet zeggen als we weten dat er een andere ware propositie is die q onwaarschijnlijk maakt!
De subjectivistische theorie analyseert waarschijnlijkheid in termen van graden van geloof. In haar meest simpele versie identificeert zij de uitspraak dat de spreker meer geneigd is het te geloven dan het niet te geloven. Graden van geloof kunnen worden afgemeten aan de bedragen die de spreker bereid zou zijn op de waarheid van zijn overtuiging in te zetten. In meer verfijnde versies van de theorie is iemand slechts gerechtigd de term ‘waarschijnlijk’ te gebruiken wanneer zijn weddenschappen ‘coherent’ zijn, d.w.z. dat hij niet op zodanige wijze op contradictoire proposities wedt dat hij, wat er ook gebeurt, wel moet verliezen. Hierbij wordt waarschijnlijkheid dus nog steeds gebaseerd op de overtuigingen van het subject. Met het oog op de coherentie-eis wordt het subjectivisme soms omschreven als het standpunt dat waarschijnlijkheid de mate van geloof is van de rationele mens. Als dit echter betekent dat iets waarschijnlijk wordt genoemd wanneer het rationeel is om het te geloven, dan is er geen sprake meer van subjectivisme, omdat men dan waarschijnlijkheid niet meer analyseert in termen van werkelijk aangehangen overtuigingen. Er bestaat voor deze opvatting geen speciale naam.
Een andere versie van de subjectivistische theorie is de taalhandelingentheorie: iets waarschijnlijk noemen is niet beschrijven watje gelooft maar het uitdrukken. Zeggen dat oorlog waarschijnlijk is betekent zeggen, met een slag om de arm, dat er oorlog komt. Evenals bij andere analyses in termen vantaalhandelingen (bijvoorbeeld van ‘goed’ of‘waar’) kan men hiertegen inbrengen dat deze theorie geen raad weet met gevallen als ‘als oorlog waarschijnlijk was zouden we emigreren’, waarin zelfs niet met een slag om de arm wordt beweerd dat er oorlog komt.
Al deze theorieën pogen recht te doen aan het idee dat waarschijnlijkheid enerzijds objectief is, dus niet van onze willekeur afhangt, en anderzijds op een of andere manier relatief is ten opzichte van onze kennis: immers in de wereld is iets het geval of niet het geval, en niet waarschijnlijk het geval. Een probleem is ook wanneer men kan zeggen dat iets waarschijnlijk was, met name wanneer het uiteindelijk helemaal niet plaatsvond. Vele recente auteurs menen dat er meer dan één soort waarschijnlijkheid is. Zij onderscheiden vaak tussen waarschijnlijkheid als logische relatie, waarbij het een kwestie van logica is of een waarschijnlijkheidsuitspraak waar of onwaar is (Carnaps waarschijnlijkheid,), en waarschijnlijkheid als relatieve frequentie, waarbij waarschijnlijkheidsuitspraken empirische statistische uitspraken zijn waarop de wiskundige waarschijnlijkheidsrekening kan worden toegepast (Carnaps waarschijnlijkheid2). Sommigen, zoals de frequentietheoreticus Reichenbach, huldigen de identiteitsopvatting van waarschijnlijkheid: de opvatting dat deze twee soorten waarschijnlijkheid in feite één zijn. Het is echter duidelijk dat we op zijn minst drie soorten uitspraken moeten onderscheiden: empirische statistische uitspraken als ‘de waarschijnlijkheid dat een Engelsman katholiek is, is xo procent’, wat eenvoudig betekent dat i o procent van de Engelsen katholiek is; zuiver wiskundige uitspraken zoals ‘de waarschijnlijkheid om tweemaal zes te gooien met twee worpen van een eerlijke dobbelsteen is 1/36’, hetgeen niets voorspelt over een werkelijke dobbelsteen; en ‘gewone’ waarschijnlijkheidsuitspraken zoals ‘het is heel waarschijnlijk dat Janssen katholiek is’, ‘het is niet erg waarschijnlijk dat ik met deze dobbelsteen een zes zal gooien’, ‘heel waarschijnlijk zal het morgen regenen’, ‘het is erg waarschijnlijk dat de evolutietheorie juist is’. Deze ‘gewone’ uitspraken kunnen zelf natuurlijk van uiteenlopende aard zijn, en kunnen op statistische of mathematische uitspraken berusten.
Waarschijnlijkheden worden absoluut of a priori genoemd wanneer ze hetzij niet als relatief tot iets worden beschouwd, hetzij als relatief ten opzichte van de algemene kennisachtergrond veeleer dan tot een werkelijke of veronderstelde verzameling van evidentie-uitspraken (‘evidentie’ hier in de zin van bewijsmateriaal, vgl. confirmatie); in het andere geval zijn ze relatief of conditioneel. Wanneer een bepaalde waarschijnlijkheid wordt aangenomen, bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid dat een a die b is ook c is, dan wordt de waarschijnlijkheid dat een a die c is ook b is de inverse waarschijnlijkheid genoemd (vgl. de stelling van iiaves). Dit begrip leidt op zichzelf niet tot problemen, maar is op controversiële wijze toegepast, reden waarom het begrip aannemelijkheid is ingevoerd.
Probabilisme is de opvatting dat wetenschappelijke onderzoekers ernaar kunnen en moeten streven waarschijnlijkheden aan hun hypothesen te verbinden, d.w.z. moeten proberen ze te confirmeren. Poppers tegengestelde opvatting dat dit onmogelijk is en dat de onderzoeker dient te streven naar de meest onwaarschijnlijke hypothese, d.w.z. naar de hypothese die het gemakkelijkst te falsifiëren (maar nog niet gefalsifieerd) is, wordt soms ‘improbabilisme’ genoemd. Zie ook confirmatie.
H. E. Kyburg, Probability and Inductive Logic, 1970. (In deel 1 worden de grondslagen van de kansrekening en verschillende theorieën over waarschijnlijkheid besproken. Met oefeningen en literatuuropgaven.)
W.C.
Kneale, Probability and Induction, 1949. (Behandelt kort de kansrekening, bespreekt de verschillende theorieën en geeft zijn eigen ‘bereik-theorie’. Raadpleging van de recensie van C.D. Broad in Mind, 1950, kan nuttig zijn.)
R. von Mises, Wahrscheinlichkeit, Statistik and Wahrheit, 1928. (Niet-technische uiteenzetting van een der varianten van de frequentietheorie (hoofdstuk 1), gevolgd door een kritische bespreking en toepassingen.)
K.R. Popper, ‘The propensity interpretation of probability’, British Journal for the Philosophy of Science, 1959. (Propensiteitstheorie. Vgl. D.H. Mellor, The Matter ofChance, 1971, hoofdstuk 4, en A. O’Hears bespreking van Poppers theorie in Mind, 1985, pp. 463-469.)
J.M. Keynes, A Treatise on Probability, 1921. (In hoofdstuk 1 wordt de logische theorie verdedigd. Zie ook hoofdstuk 4 voor het indifferentieprincipe.)
S. E. Toulmin, ‘Probability’, Proceedings of the Aristotelian Society, supplementary volume, 1950, herdrukt in A. Flew (red.), Essays in Conceptual Analysis, 1956, en in herziene vorm als hoofdstuk 2 van Toulmins The Uses of Argument, 1958. (Taalhandelingentheorie.)
R. Swinburne, An Introduction to Confirmation Theory, 1973. (In de eerste twee hoofdstukken worden soorten waarschijnlijkheid besproken.)
R. Carnap, ‘The two concepts of probability’, Philosophy and PhenomenologicalResearch, 1945, herdrukt in H. Feigl en W. Sellars (red.), Readings in Philosophical Analysis, 1949, en in H. Feigl en M. Brodbeck (red.), Readings in the Philosophy of Science, 1953. (Vgl. ook Carnaps boek Logical Foundations of Probability, 1950, en voor een andere variant van het idee dat er twee waarschijnlijkheidsbegrippen zijn J.O. Urmson, ‘Two of the senses of “probable”’, Analysis, vol. 8, 1947, herdrukt in M. Macdonald (red.), Philosophy and Analysis, 1954.)
H. Reichenbach, Experience and Prediction, 1938. (In § 33 wordt gepleit voor de identiteitsopvatting en worden individuele gebeurtenissen besproken.)
A.J. Ayer, The Concept ofaPerson, 1963 {Over de persoonlijkheid, 1966).(In hoofdstuk 7 wordt de logische theorie besproken en worden individuele gebeurtenissen behandeld. Kritiek hierop bij C.G. Hempel, Aspects of Scientific Explanation, 1965, pp. 65-66.)
I. Hacking, The Emergence of Probability, 1975. (Historisch.)
W. Stegmüller, Personelle undStatistische Wahrscheinlichkeit, 2 delen, 1973.
(Zeer grondig en systematisch overzichtswerk. Moeilijk.)
