Een woordenboek van de filosofie

Begrippen, stromingen, denkers

Gepubliceerd op 19-04-2017

2017-04-19

Axiomastelsel of axiomasysteem

betekenis & definitie

Stelsel of systeem waarin bepaalde uitdrukkingen in overeenstemming met een gegeven verzameling regels worden afgeleid uit een initiële verzameling uitdrukkingen die als gegeven worden beschouwd en axioma’s worden genoemd.

In zo’n stelsel vormen de axioma’s zelf een axiomaverzameling. Vaak, zoals bij Tarski, wordt ‘axiomastelsel’ gebruikt in de betekenis ‘axiomaverzameling’. De formatieregels leggen vast welke elementen of symbolen men in het stelsel zal gebruiken en welke combinaties daarvan men zal beschouwen als uitdrukkingen die kunnen dienen als axioma’s of onderzocht kunnen worden op hun afleidbaarheid uit de axioma’s. Deze uitdrukkingen worden welgevormde formules, afgekort wvf genoemd, en daarvan worden diegene die uit de axioma’s kunnen worden afgeleid theorema’s genoemd. De formatieregels zijn vergelijkbaar met grammaticale regels, de wvf met betekenisvolle zinnen. Terwille van de economie en de elegantie moeten de axioma’s onafhankelijk zijn, d.w.z. niet binnen het stelsel uit elkaar afleidbaar. De axioma’s kunnen oneindig in aantal zijn, mits er regels worden gegeven om er een keus uit te maken. Zo’n regel zal een axiomaschema vastleggen door te zeggen: ‘alle wvf van die en die soort zullen als axioma’s worden beschouwd’.

De transformatieregels vertellen ons welke wvf uit andere kunnen worden afgeleid, en bepalen zo wat, gegeven de axioma’s, de theorema’s van het stelsel zullen zijn in een abstract axiomastelsel zijn de uitdrukkingen slechts symbolen, of figuurtjes op papier. Maar als het stelsel wordt toegepast op een bepaald gebied (bijvoorbeeld van de wiskunde of van de waarneembare wereld) krijgen we een model of interpretatievan het stelsel, en zeggen we dat het gebied geaxiomatiseerd is. Een gebied axiomatiseren betekent dus het systematiseren en laten zien hoe het grootste deel van de ware uitspraken op het gebied kan

worden afgeleid als bepaalde axioma’s worden gekozen en transformatieregels worden vastgelegd. Die keuze wordt zo gemaakt dat het stelsel consistent is en, waar mogelijk, volledig. De axioma’s zijn derhalve hetzij ware uitspraken, die niet eenvoudig of evident hoeven te zijn, hetzij uitspraken waarvan de waarheid kan worden gepostuleerd zonder dat dit tot contradicties leidt, zoals in de niet-Euclidische meetkunde (zie ruimte en tijd). Zoals de transformatieregels zijn verbonden met geldigheid, zo zijn de axioma’s het met waarheid. Zie ook model, boole-algebra.

A.Tarski, Introduction to Logic, 1941 (Inleiding tot de logica, 1953), hoofdstuk vi.