Een logisch of wiskundig model van een axiomastelsel of van een zin in een axiomastelsel is een verzameling entiteiten (die getallen of klassen, dus abstract kunnen zijn) waarvan de onderlinge relaties door dat stelsel of die zin kunnen worden voorgesteld. Een structuur van zulke entiteiten is een model van een zin S als S waar is in de structuur.
De natuurlijke getallen, opgevat als op de gebruikelijke manier gerelateerd door de relatie opvolger van, zijn een model van de axioma’s van Peano, omdat deze waar zijn voor de natuurlijke getallen, zo opgevat. (‘Zo opgevat’ omdat de axioma’s niet noodzakelijk waar zouden zijn voor de natuurlijke getallen indien deze bijvoorbeeld in een andere volgorde zouden worden beschouwd.) Een belangrijke vraag is wat waar is voor alle modellen van een gegeven stelsel. In vroegere literatuur wordt een theorie soms een model van een andere theorie genoemd, of bevat zij een interpretatie ervan, als de verzamelingen objecten die de theorieën bestuderen modellen zijn van een en hetzelfde axiomastelsel, mits ze worden opgevat op de manier waarop ze bestudeerd worden (zie de vorige parenthese). Een wetenschappelijk model is gewoonlijk een theorie waarmee men beoogt een gegeven gebied van verschijnselen te verklaren, of een soort beeld waarmee men beoogt een theorie te verduidelijken door de termen ervan te vervangen door meer inzichtelijke termen.
De modeltheorie gaat over logische en wiskundige modellen. Men bestudeert in de modeltheorie relaties tussen formele talen en interpretaties van die talen, d.w.z. men bestudeert uitspraken die inhouden dat een zin in een formele taal (bijvoorbeeld de predikatencalculus van de eerste orde) waar is in een interpretatie. Deze interpretatie kan een abstracte structuur zijn of een wereld, bijvoorbeeld de werkelijke wereld zoals zij in 1970 was. Uitgangspunt voor alle vormen van modeltheorie is A. Tarski’s semantische waarheid sdefinitie.
A. Tarski, Introduction to Logic, 1941 (Inleiding tot de logica, 1953), § 37.
(Model en interpretatie van een axiomastelsel.)
M. Brodbeck, ‘Models, meaning, and theories’, in M.
Brodbeck (red.), Readings in the Philosophy of the Social Sciences, 1968 (oorspr. 1959). (Bespreekt vele verschillende betekenissen van ‘model’. Zie over wetenschappelijke modellen ook R.B. Braithwaite, Scientific Explanation, 1953, hoofdstuk 4.)
J. L. Bell en A.B. Slomson, Models and Ultraproducts, 1969. (Technische in
leiding tot de modeltheorie, veronderstelt enige mathematische logica. Zie voor een korte, tamelijk elementaire inleiding J.N. Crossley e.a., What is Mathematical Logic?, 1972.)
K. Bertels en D. Nauta, Inleiding tot het modelbegrip, 1969. (Bevat hoofdstukken over modellen in de natuurwetenschappen, de sociale wetenschappen en in logica en wiskunde.)
