De logarithme van een getal is de exponent van de macht, waartoe een zeker getal (grondtal) moet verheven worden om het eerste getal tot uitkomst te krijgen. Het begrip macht moet hier zoo ruim mogelijk worden opgevat. (Zie Algebraïsche terminologie en Macht.) De logarithme van een getal a duidt men aan door log a.
Zoo is dus, als 3 het grondtal is, log 9 = 2, log 27 = 3, log 81 = 4, omdat 32 = 9, 33 = 27 en 34 = 81 is. Daar men voor elke waarde van a heeft a° = 1 en a1 = a, is voor elk grondtal de logarithme van de eenheid gelijk aan 01 en de logarithme van het grondtal gelijk aan 1. De Engelsehe wiskundige Brigg heeft als grondtal 10 aangenomen. De volgens dit grondtal berekende logarithmen die in de wiskunde algemeen gebruikt worden, heeten gewone of Briggsche logarithmen. In dit stelsel is dus log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3 enz. De getallen tusschen 1 en 0 hebben dus tot logarithmen getallen grooter dan 0 en kleiner dan'1; zoo is b.v. log 3 = 0.4771213.
Dit laatste is een tot 7 decimalen benaderd onmeetbaar getal; verheft men dus 10 tot de macht 0.4771213, dan krijgt men een getal, dat zeer weinig van 3 verschilt. Zoo zullen de logarithmen der getallen tusschen 10 en 100 grooter dan 1 en kleiner dan 2 zijn en zoo is b.v. log 12 = 1.0791812 en log 37.4 = 1.5728716. In ’t algemeen zal dus de logarithme van een getal, dat geen term van de schaal is een getal zijn bestaande uit een geheel getal en een benaderde tiendeelige breuk. Het aantal geheelen wordt wijzer, de tiendeelige breuk mantisse genoemd. Uit het bovenstaande blijkt, dat de wijzer steeds één minder is dan het aantal cijfers der geheelen van het getal. De getallen 784 en 937.65 hebben dus 2, de getallen 7934.68 en 4960.043 hebben 3 tot wijzer.
De gewone logarithmen zijn voor de verschillende getallen berekend en in tabellen (logarithmentafels) vereenigd. Met behulp van zulk een logarithmentafel kan men van elk getal de logarithme vinden, terwijl men omgekeerd kan nagaan welk getal een gegeven getal tot logarithme heeft. Het groote nut der logarithmen blijkt duidelijk, als men vormen wil berekenen, die bestaan uit eene vermenigvuldiging, machtsverheffing, deeling of worteltrekking van eenigszins groote getallen of uit eene samenstelling dier bewerkingen. Men maakt daarbij gebruik van de volgende eigenschappen: 1. De logarithme van een product is gelijk aan de som der logarithmen van de factoren. 2. De logarithme van een macht is gelijk aan den exponent maal de logarithme van het grondtal van de macht. 3.
De logarithme van een quotiënt is gelijk aan de logarithme van het deeltal verminderd met de logarithme van den deeler. 4. De logarithme van een wortel uit een getal is gelijk aan de logarithme van dat getal gedeeld door den wortelexponent. Heeft men dus een product van twee of meer getallen te berekenen, dan zoekt men de logarithmen dier getallen op en telt deze samen; moet men een macht berekenen van een zeker getal, dan vermenigvuldigt men de logarithme van dat getal met den exponent; moet men twee getallen op elkaar deelen, dan trekt men de logarithmen dier getallen van elkander af; heeft men een wortel uit een getal te trekken, dan deelt men de logarithme van dat getal door den wortelexponent; in al deze gevallen zoekt men ten slotte in de tafel op, van welk getal de gevonden uitkomst de logarithme is, en dit is dan het gevraagde getal. Heeft men b.v. te berekenen 3.456 X 78.934 X 2.7869 6.943 en stelt men dezen vorm gelijk x, dan is log x = log 3.456 -f~ log 78.934 + log 2.7869 — log 6.943. Nu geeft de logarithmentafel log 3.456 = 0.5385737, log 78.934 = 1.8972641, log 2.7869 = 0.4451214 en log 6.943 = 0.8415472 dus log x = 2.0394120 en hierbij vindt men x = 109.5005. Vooral bij berekeningen met samengestelde interest geeft het werken met logarithmen veel bekorting.
Men wenscht b.v. te weten, hoe groot een kapitaal van f25000 wordt, als het 20 jaar lang tegen 3½ % op samengestelde interest staat,. Stelt men dit getal weer gelijk aan x dan is x = 25000 X 1.03520 en dus log x = log 25000 + 20 X log 1.035. Nu is log 25000 = 4.3979400 en log 1.035 = 0.0149403 dus log x = 4.6967460 en x = 49744.61. Door Gauss zijn tabellen samengesteld, met behulp waarvan het mogelijk is de logarithme van de som ol het verschil van twee getallen te bepalen, als de logarithmen dier getallen gegeven zijn. De getallen dier tabellen heeten Gaussische logarithmen. Voor de praktijk zijn ze van veel minder belang dan de gewone logarithmen.
De schotsche wiskundige Napier (1614), die als uitvinder der logarithmen wordt beschouwd, nam als grondtal aan een onmeetbaar getal e = 2.71828.... De volgens dat grondtal berekende logarithmen heeten natuurlijke of Nepersche logarithmen. Alleen in de hoogere wiskunde komen ze voor.
