Getallentheorie - In de getallentheorie worden voornamelijk de eigenschappen bestudeerd der natuurlijke getallen. In de eerste plaats heeft het vraagstuk van de deelbaarheid de wiskundigen voortdurend bezig gehouden, vooral wegens de grillige opeenvolging van deelbare en ondeelbare getallen. Men heeft o.a. getracht het aantal te bepalen van de ondeelbare getallen (priemgetallen) beneden een gegeven getal x.
De benadering van Tschebyscheff is veel zuiverder dan die van Legendre. Op dit gebied heeft men verder o.a. de stelling van Dirichlet: elke oneindig voortloopende rekenkundige reeks, waarvan de eerste term en het verschil onderling ondeelbaar zijn, bevat oneindig veel priemgetallen.
In de tweede plaats behandelt de getallentheorie de z.g. getallencongruenties. Men noemt 2 getallen a en b congruent met betrekking tot een zeker getal p, wanneer hun verschil a — b door p deelbaar is, wanneer ze dus bij deeling door p dezelfde rest geven; bijv. 11 en 5 zijn congruent t.o. van 3 (ook t.o. van 2 en t.o. van 6). Men noemt het getal p de modulus van de congruentie en schrijft a ≡ ≡ b (mod. p) (dus 11 ≡ 5 (mod. 3)). — Zijn a en n twee onderling ondeelbare getallen, dan is aዋ(n) ≡ l (mod. n) (stelling van Euler); bijv. a — 5, n — 6 geeft ዋ(n) = ዋ(6) = 6 x + (1-1/2) x (1-1/3) = 2, 52 = 4 x 6 + 1, dus 52 ≡ 1 (mod. 6). Is n een priemgetal p, dan is ዋ(p) = p — 1; de stelling van Euler gaat dan over in de bekende stelling van Fermat: ap—1≡ 1 (mod. p) of ap ≡ a (mod. p), waarbij a niet deelbaar is door ’t priemgetal p; bijv. a = 6, p = 5 geeft 64 = 1296 = 1 (mod. 5). — De stelling van Wilson leert verder, dat voor een priemgetal p geldt: Ix2x3x .. (p — 1) ≡ — 1 (mod. p) of (p — 1)1 ≡ — 1 (mod. p); bijv. p = 7 .... Ix2x3x4x5x6 = 720 = 721 — 1 = 103 x 7 — 1, dus 61 ≡ — 1 (mod. 7). — In verband met de congruenties kan men zich de vraag stellen: alle getallen x te bepalen, die voldoen aan de congruentie f(x)≡ 0 (mod. n), waarbij f (x) een geheele vorm is met geheele coëfficiënten bijv. f (x) — 3x4 — 7x2 + 9x — 6 ≡ 0 (mod. 8); hieraan wordt voldaan door x = 2, immers 3 x 24 7 x 22 + 9x2 6 = 48 -28+18— 6 = 32 = 4 x 8.
Voldoet x = a aan (ƒ x) ≡ 0 (mod. n), dan voldoet ook elk getal x = b, dat mod. n congruent is met a, m.a.w. uit ƒ (a) = 0 (mod. n) en b = a (mod. n) volgt ƒ (b) ≡ 0 (mod. n).
Tot de problemen der getallentheorie behoort ook het splitsen van een gegeven getal n als som van een reeks van veelvouden van gegeven positieve geheele getallen a,b,......: n = xa + yb + ....: Het aantal verschillende oplossingen (het z.g. „splitsingsgetal”) krijgt men door den vorm (1 — xa) (1 — xb) .... op 1 te deelen, waardoor men het quotiënt vindt in den vorm van een reeks naar opklimmende machten van x. De coëfficiënt van xn in dit quotiënt is dan ’t gevraagde splitsingsgetal. Bijv.: a = l, b = 2, n = 5 geeft (1 — x1) X x (1 — x2) = 1 — x — x2 + x3; deelt men dit op 1, dan komt er als quotiënt: 1 + x + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5+ 4x6 + 4x7 +...... ; de coëfficiënt van x5 is 3, dus ’t aantal mogelijke splitsingen is 3, nl.: 5 = 5 x 1 + O x2 = 3 x l + 1 x 2 = = 1 x 1 + 2 x 2. — Men onderzoekt ook stelsels van onbepaalde eerstegraadsvergelijkingen. — Bij de splitsing van een gegeven getal als som van kwadratische vormen: n=kx f1(x,y) + + k2f2 (x, y) + .... komt ter sprake het probleem van de splitsing in kwadraten. Elk positief priemgetal van den vorm 4n + 1 is op éen wijze te schrijven als som van 2 kwadraten (stelling van Fermat). Elk priemgetal van den vorm 6n + 1 kan geschreven worden als x2 — xy + y2. Elk geheel getal is de som van 4 of minder kwadraten (Lagrange). — Een getal, dat gelijk is aan de som van al zijn deelers heet een volkomen getal. De volkomen getallen beantwoorden aan de formule 2p—l(2p—1), mits 2p — 1 priem is; deze uitdrukking was reeds aan Euclides bekend. — Stelt men de combinatie x, y voor door een punt met coördinaten x en y, dan worden alle geheele paren x, y voorgesteld door de hoekpunten van een vierkanten-netwerk. Deze hoekpunten kunnen ook volgens andere regels in regelmatige figuren worden vereenigd. Deze netwerken (Punktgitter, réseaux ponctuels) bewijzen belangrijke diensten bij het opsporen van stellingen der getallentheorie. — In de vergelijking x2 + y2 = z2 kunnen x, y en z alle drie geheel zijn.
In de vergelijking xu + yn = zn (n > 2) kunnen echter x, y en z niet gelijktijdig geheel zijn. Deze beroemde stelling van Fermat is nog steeds niet volledig bewezen. Wel heeft men de waarheid ervan aangetoond voor zekere klassen van waarden voor n (Kummer, Wieferich). Het is trouwens ook niet zeker of Fermat, die gewoon was alleen de uitkomsten van zijn wiskundige vondsten als kantteekeningen in een of ander boek te schrijven, zelf het bewijs van deze stelling heeft kunnen geven. Het hier genoemde probleem van Fermat heeft reeds menigmaal als prijsvraag gediend.
In 1908 heeft Dr. Paul Wolfskehl bij testament 100.000 Mark vermaakt aan dengene, die het eerst deze stelling van Fermat zou weten te bewijzen. De getallentheorie is gegrondvest door Fermat, verder ontwikkeld door Euler, Legendre, Lagrange, Gauss, Jacobi, Cauchy, Lejeune, Dirichlet, Smith, Eisenstein, Liouville, Kummer, Kronecker, Hermite, Dedekind, Landau, Tchebyscheff, Minkowski. — Men raadplege P. Bachmann, Grundlehre der neueren Zahlentheorie (Samml. Schubert, N°. 53, 1907); P. Bachmann, Zahlentheorie (Leipzig, 1894—1898); Dirichlet—Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie (Braunschweig, 1984),; Smith, Report on the theory of numbers (Oxford, 1894, historisch overzicht).
