Reeks betekenis & definitie

Reeks - in de wiskunde een rij getallen, wier bedrag op een vaste wijze samenhangt met de rangorde, die het getal in de reeks inneemt, of volgens een vasten regel wordt afgeleid uit een of meer voorgaande ; elk dier getallen noemt men een term van de reeks. Tot de eenvoudige reeksen behooren de rekenkundige, de meetkundige en de harmonische reeksen. Een rekenkundige reeks van de 1ste orde is een rij getallen, die met gelijke verschillen opklimmen of afdalen (5, 7, 9, 11,13); vormen de verschillen tusschen de opeenvolgende termen een r. r. 1ste orde dan is de reeks een van de 2de orde (bijv.: 1, 6,13, 22, 33, 46); vormen de verschillen tusschen de opeenvolgende termen eener reeks een reeks der 2de orde, dan is de reeks een der 3de orde, enz. Het invoegen van een aantal getallen tusschen twee willekeurige getallen, zoodat deze met de ingevoegde een r. r. vormen, noemt men interpoleeren. — Een meetkundige reeks is een rij getallen, waarvan elk getal in elk volgend getal evenveel maal begrepen is (1, 2, 4, 8, 16).

De verhouding tusschen twee opeenvolgende getallen noemt men de reden. Het product der uiterste termen is gelijk aan het product van elke twee andere termen, die even ver van de uiterste afstaan. De som van een bepaald aantal (n) termen eener meetkundige reeks is gelijk aan den eersten term vermenigvuldigd met een breuk, waarvan de teller gelijk is aan de reden, tot de nde macht, verminderd met de eenheid, en de noemer gelijk aan de reden min de eenheid.

Tusschen elke twee willekeurige getallen kan men een zeker aantal andere getallen interpoleeren, zoodanig dat die ingevoegde getallen met de twee gegevene een meetkundige reeks vormen. Als men tusschen elke twee achtereenvolgende termen eener meetkundige reeks hetzelfde aantal termen interpoleert, zal er een nieuwe meetkundige reeks ontstaan. Als men uit de termen van een meetkundige reeks met overspringing van eenzelfde aantal andere, eenige termen neemt, dan verkrijgt men altijd een nieuwe meetkundige reeks. Elke drie op elkander volgende termen van een meetkundige reeks zijn gedurig meetkundig evenredig ; daarom kan men uit een meetkundige reeks altijd eenige aaneengeschakelde meetkundige evenredigheden samenstellen. Een harmonische reeks is een rij getallen, waarin elke drie op elkander volgende termen harmonisch evenredig zijn.

Als men een zelfde getal achtereenvolgens deelt door de termen eener rekenkundige reeks, dan zullen de komende quotiënten een harmonische reeks uitmaken (1, 1/2, 1/3 1/4, 1/5 enz.). Uit bovenstaande definitie volgt, dat men uit een harmonische reeks altijd eenige harmonische evenredigheden kan samenstellen. Men kan ook een reeks van termen vormen zoodanig, dat elke term een macht van een veranderlijke grootheid x als factor bevat, bijv.: a0, a1x, a2x2, ... Zulk een reeks heet een machtreeks. De som van n termen van een reeks u1, + u2, +.. + un bij toeneming van n naderen tot een eindige grenswaarde; in dit geval heet de reeks convergent. Wordt de bedoelde som u1, + u2, +.. + un bij voortdurende toeneming van n onbepaald groot, dan heet de reeks divergent. Bij machtreeksen hangt de convergentie meestal af van de waarde, die men aan de veranderlijke toekent; zoo is 1 + x + x2 + ... eindig als de volstrekte waarde van x kleiner is dan 1.