o. (-len),
1. veelheid, aantal (echter niet direct met een zn. verbonden: men kan niet zeggen een boeken)-, het van de aanwezigen was zeer groot; de gasten waren slechts drie in —; ten getale van, in zo’n hoeveelheid als het telwoord aanwijst; zij kwamen in groten getale, met velen; bij getale tegen 20 procent korting, bij twaalftallen, twintigtallen enz. worden (de boeken enz.) met 20 procent korting geleverd;
2. (wiskunde) een veelheid die de hoeveelheid van de afzonderlijke eenheid ervan exact weergeeft (e);
3. de voorstelling van een getelde, bepaalde hoeveelheid door middel van woorden, cijfers enz.: de getallen van 1 tot 10; 365 is een van drie cijfers; een rond —, dat op een of meer nullen eindigt;
4. (taalkunde) ➝numerus.
(e) Getal is een grondbegrip in de wiskunde. Bij het tellen van objecten worden de getallen 1, 2, 3, ...gebruikt, die men op grond daarvan de natuurlijke getallen noemt. Door G.Peano is een axiomastelsel opgesteld voor deze getallen waaruit al hun (reeds intuïtief als juist aangevoelde) eigenschappen volgen. De verzameling natuurlijke getallen stelt men voor door IN. Uit de axioma’s van Peano volgen voor de natuurlijke getallen twee soorten eigenschappen, nl. algebraïsche eigenschappen en ordeningseigenschappen. De eerste hebben betrekking op de optelling en vermenigvuldiging.
Aan ieder tweetal natuurlijke getallen a en b kan men een eenduidig bepaald getal toevoegen dat men de som noemt en noteert als a + b. Ook kan men aan a en b een eenduidig bepaald getal toevoegen dat men het produkt noemt en noteert als a • b of a x b of ab. Voor de bewerkingen + en • gelden de volgende eigenschappen: 1. commutativiteit, d.w.z. a + b = b + a en a . b = b . a;
2. associativiteit, d.w.z. a + (b + c) = (a + b) + c en a . (b . c) = (a . b). c;
3. distributiviteit: a . (b + c) = a . b + a . c. Verder gelden de zgn. vereenvoudigingswetten die zeggen dat uit a + c = b + c volgt a = b en dat uit a . b = a . c volgt b = c. Tenslotte is er een eenduidig bepaald neutraal element voor de vermenigvuldiging, genoteerd als 1 (spreek uit: een) dat de eigenschap heeft: a • 1 = 1. a = a voor alle aЄlN. De ordeningseigenschappen zijn gebaseerd op de definitie van ‘groter dan’ en ‘kleiner dan’. Men zegt dat a kleiner is dan b (notatie a<b) indien er een nЄlN bestaat zodanig dat a + n = b. Men zegt ook wel dat b groter is dan a (notatie b➝a). Voor deze ordening gelden de volgende wetten:
1. trichotoniewet: als aЄIN en bЄIN dan geldt of: a = b, of a<b of b <a;
2. transitieve wet: als aЄIN en bЄIN en cЄIN, terwijl a<b en b<c, dan volgt hieruit a<c;
3. monotoniewetten: als aЄIN en bЄIN en cЄIN, dan geldt: a<b =➝ a + c<b + c en a . c<b . c.
Tenslotte geldt de eigenschap dat iedere niet lege verzameling natuurlijke getallen een kleinste element bezit. Zonder in detail in te gaan op de axioma’s van Peano en de bewijzen van bovengenoemde eigenschappen, zij vermeld dat bij de bewijsvoering een belangrijke rol wordt gespeeld door het zgn. axioma van volledige ➝ inductie.
Aangezien bij gegevenaЄIN en bЄIN en de vergelijking a + x = b niet steeds oplosbaar is, ontstaat de behoefte om de verzameling N uit te breiden met het getal nul en de negatieve gehele getallen tot de verzameling Z der gehele getallen. In Z blijken voor de optelling en de vermenigvuldiging de commutatieve, associatieve en distributieve wetten te gelden, maar naast het neutrale element voor de vermenigvuldiging, is er nu ook een neutraal element voor de optelling, genaamd nul, genoteerd als 0, dat de eigenschap heeft: a + 0 = 0 + a = a, voor alle aЄZ, terwijl er bij elke aЄZ een eenduidig bepaald tegengesteld element is genoteerd als -a, dat de eigenschap heeft: a + (-a) = (-a) + a = 0. De vergelijking a + x = b is nu onbeperkt oplosbaar in Z; het is duidelijk dat b + (-a) de eenduidig bepaalde oplossing is.
In Z is echter bij gegeven a ≠ 0 en b de vergelijking a . x = b niet steeds oplosbaar. Indien er wel een x€Z bestaat, zodat a .x = b, dan noemt men b deelbaar door a (a deelbaar op b, a een deler van b) en b een veelvoud van a. Men breidt daarom de verzameling Z uit tot de verzameling Q van alle rationale getallen (ook wel gebroken of meetbare getallen genaamd). Deze getallen worden genoteerd als a/b (a€Z, b€Z, b≠ 0). In Q blijkt dan elk element a ≠0 een eenduidig bepaalde inverse voor de vermenigvuldiging te hebben, dat men noteert als a-1 of 1/a en ook wel het omgekeerde van a noemt.
Per definitie heeft dit de eigenschap a. a-1 = a-1 . a = 1. Het gevolg is dat de vergelijking a . x = b bij gegeven a ≠ 0 en b in Q precies één oplossing heeft, nl. a-1 • b. De ordeningseigenschappen van Z en Q kunnen worden voortgezet uit de in N bestaande relaties < en >, d.w.z. men kan op Z en Q een relatie < en > definiëren die op IN samenvalt met de bestaande ordeningsrelaties. Voor deze relaties gelden ook de trichotoniewet, de transitieve wet en de monotoniewet voor de optelling. Voor de vermenigvuldiging geldt een iets gewijzigde monotoniewet, nl.: als a<b en c<0 dan geldt ac<bc. Verder geldt nog in Q de zgn. stelling van Archimedes: voor elke q€Q bestaat een nЄlN zodat n>q.
Reeds in de oudheid kreeg men behoefte aan het invoeren van andere dan rationale getallen. Het is b.v. eenvoudig aan te tonen dat er geen rationaal getal q bestaat met de eigenschap q2 = 2. Ook de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de straal daarvan is geen rationaal getal. Men heeft daarom de verzameling Q der rationale getallen uitgebreid met de irrationale of onmeetbare getallen tot de verzameling IR der reële getallen. Voor de formele invoering daarvan staan verschillende technieken ter beschikking, o.a. de methode der fundamenteelrijen of Gauchy-rijen en de methode met behulp van de sneden van Dedekind (➝Dedekind, snede van). Voor details hiervan zij verwezen naar de litteratuur.
Opgemerkt zij slechts dat men de reële getallen kan representeren door middel van oneindig voortlopende decimale breuken en dat daarbij de repeterende breuken geïdentificeerd kunnen worden met de rationale getallen en de nietrepeterende breuken met de onmeetbare of irrationale getallen. Men kan de reële getallen ook verdelen in twee typen, nl. de algebraïsche getallen, getallen die voldoen aan een vergelijking van het type anxn + an-1xn-1 + ...a0 = 0 met anЄQ en nЄlNl en de zgn. transcendente getallen die niet aan zo’n vergelijking voldoen, b.v. 𝜋 en e. De in Q geldende ordening kan worden voortgezet tot (R en het blijkt dan dat in IR de stelling van de kleinste bovengrens geldt die het volgende inhoudt: indien een verzameling V van reële getallen naar boven begrensd is, d.w.z. indien er een mЄIR is, zodat x≦Sm voor alle xЄV, dan heeft V een kleinste bovengrens S, d.w.z. er is een getal SЄlR met de eigenschap dat voor elke xЄV geldt: x≦S, maar bij elke η>0 bestaat een yЄV zodat S η<y≦S.
Een laatste uitbreiding van IR blijkt nog nodig, b.v. omdat IR niet alle algebraïsche getallen bevat. Zo is er geen xЄIR met de eigenschap dat x2 + 1 = 0. Dit leidde tot de invoering van de ➝complexe getallen.
litt. L.E.Dickson, History of the theory of numbers (1951); E.Landau, Grundlagen der Analysis (1963); P.Halmos, Naive Set Theory (1964); B.L. van der Waerden, Algebra I en ii (1966); F.Loonstra, Inleiding tot de algebra (1972).
