Tak van de wisk., waarin studie wordt gemaakt van de eigenschappen van functies y — f (x), (b.v. y = ax2 + bx + c), door na te gaan in welke mate de verandering van y afhangt van die van x als de verandering van x hoe langer hoe kleiner wordt genomen. Zo zal, in het gegeven voorbeeld, als x toeneemt met u tot x + u, en y gelijktijdig toeneemt met v tot y + v, voldaan zijn aan y + v = a (x + U)2 + b (x + u) + c, zodat v = 2axu + au2 + bu en v/u 2ax + au + b.
Het quotiënt v/u nadert, bij afnemende u. hoe langer hoe meer tot 2ax + b. Deze limietwaarde heet het‘differentiaalquotiënt’ (naar x) van de functie y = ax2- + bx + c. De veranderingen u en v worden gewoonlijk aangeduid met Δx en Δy. De limietwaarde van v/u = Δy/Δxwordt genoteerd met het symbool dy/dx , zodat dy/dx= Lim Δx➝ 0 Voorbeeld 1° x =
tijd, y = afgelegde weg, dy/dx = snelheid op een bepaald ogenblik; 2° x = abscis, y = ordinaat: Δy/Δx= tangens van de hoek tussen de koorde PP1 en de positieve x-as, dy/dx=
tangens van de hoek q tussen de raaklijn in P en de positieve r-as.
Het differentiëren van de functie y levert het differentiaalquotient dy/dx als een nieuwe functie van x zeg y’ (b.v. y’ = 2ax + b). Door deze functie opnieuw te differentiëren ontstaat het z.g. 2e differentiaalquotiënt (diff. quot. van de 2e orde)
In voorbeeld 1o is y” = 2a de versnelling. In voorb. 2°: Bij een kromme lijn y = f (x) beheerst het 2e differentiaalquotiënt in hoge mate de kromming. Is een grootheid z gegeven als functie van twee onafhankelijk-veranderlijken x en y: z = f (x, y) (b.v. z = ax2 + bxy + cy2), dan kan z zowel naar x als naar y gedifferentieerd worden.
Men onderscheidt dan twee partiële differentiaalquotient: ∂z/∂y
(i.c. 2ax + by) en ∂z/∂y (i.c. bx — 2cy). Hierbij wordt de veranderlijke, waarnaar niet gedifferentieerd wordt, als constante behandeld. Deze partiële differentiaalquotiënten kunnen verder zowel naar X als naar y gedifferentieerd worden.
De differentiaalquotiënten van de le orde bepalen de stand van het raakvlak, de differentiaalquotiënten van de 2e orde beheersen in overwegende mate de kromming.
M.J.VAN UVEN.