Elimineeren - Wanneer uit een stel van n vergelijkingen waarin eenige onbekenden x, y, z,.. voorkomen, een stel vergelijkingen moet afgeleid worden, waarin een der gegeven onbekenden niet voorkomt, wordt deze onbekende uit de gegeven vergelijkingen geëlimineerd en men krijgt dan in het algemeen n 1 vergelijkingen waarin die onbekende niet optreedt. Vb. I: Uit x + y = 5 en x y = 3 vindt men (door d eovereenkomstige leden van de vergelijkingen bij elkaar op te tellen) 2 x = 8; Vb. II. Uit 2 x + y z = 7 en 3 x y + 2 z = 3 vindt men door z op te lossen uit de 1e verg. z = 2 x + y 7 en door in de 2e verg. z door deze uitdrukking te vervangen 3 x y + 2 (2 x + y 7) = 3 of 7 x + y = 17, welke vergelijking z niet meer bevat. Vb. III. x + y z + u = 0, x2 + y2 2 z2 + u2 = 0, x3 + y3 3z3 + u3 = 0, eliminatie van z geeft hier x2 + y2 2 (x + y + u)2 + u2 = 0, x3 + y3 3 (x + y + u) + u3 = 0, dus 2 vergelijkingen zonder z. De oplossing van n vergelijkingen met n onbekenden wordt altijd uitgevoerd door de onbekenden achtereenvolgens te elimineeren.
Door eliminatie van x uit de n gegeven vergelijkingen ontstaan n 1 vergelijking in de n 1 overige onbekenden. Uit deze wordt de 2e onbekende y geëlimineerd, waarna n 2 vergelijkingen met de n 2 overige onbekenden overblijven, enz. Ten slotte houdt men nog 1 vergelijking met de laatst overgebleven onbekende over, waaruit de waarde van deze onbekende bepaald kan worden. In de hoogere algebra wordt dikwijls het vraagstuk gesteld: na te gaan welke betrekking er tusschen de coëfficiënten van twee vergelijkingen in dezelfde onbekende x moet bestaan, opdat dezelfde waarde van x aan beide vergelijkingen kunne voldoen. De gezochte betrekking wordt dan gevonden door x uit beide vergelijkingen te elimineeren.
Deze eliminatie kan, als men ze niet volgens een vast plan uitvoert, tot ingewikkelde berekeningen aanleiding geven. Vb.: bij de vergelijkingen ax2 + bx + c = 0 en px + q = 0, luidt deze betrekking aq2 bpq + cp2 = 0. Deze betrekking wordt in den regel gebracht in den vorm van een vergelijking, waarin een zekere uitdrukking in de coëfficiënten gelijk aan nul wordt gesteld. Deze uitdrukking heet Eliminant of Resultante der vergelijkingen. Zoo hebbende verg. ax2 + bx + c = 0 en px + q = 0 tot resultante aq2 bpq + cp2, en hebben de verg. ax2 + bx + c = 0 en Ax2 + Bx + C = 0 tot resultante R = (Ac Ca)2 + (Ab Ba)(Cb Bc). Onder de e l i m i n a t i e m e t h o d e n, die leiden tot de resultante, zijn vooral bekend die van Euler, Sylvester en Bezout (vereenvoudigd door Cauchy).
