(Fr.: nombre; Du.: Zahl; Eng.: number), een verzamelnaam in gebruik voor de elementen van verschillende verzamelingen in de wiskunde.
Reële getallen.
In vele toepassingen van de analyse speelt het reële getal een belangrijke rol. Het reële getal wordt verkregen uit het natuurlijke getal door middel van steeds verdergaande uitbreidingen.
Hierbij wordt met de verzameling natuurlijke getallen bedoeld de verzameling {1, 2, 3, 4, 5, ...}, welke verzameling aangeduid wordt met ℕ. Intuïtief kan men zeggen dat dit de getallen zijn die bij het alledaagse tellen worden gebruikt. Formeel gesproken is het de verzameling elementen die voldoen aan de vijf axioma’s van Peano (1858...1932): er is een natuurlijk getal dat aangeduid wordt met 1 (één); aan ieder natuurlijk getal n wordt op eenduidige wijze een ander natuurlijk getal n+ toegevoegd dat men de opvolger van n noemt; uit n+ = m+ volgt n = m, dus geen twee verschillende natuurlijke getallen hebben dezelfde opvolger; er is geen natuurlijk getal waarvan 1 de opvolger is; en het axioma van volledige inductie: als een deelverzameling V van ℕ de eigenschappen heeft dat 1 ∈ V en met n ∈ V ook geldt n+ ∈ V, dan is V de gehele verzameling ℕ.
Op grond van deze axioma’s kan men in ℕ een optelling (+) en een vermenigvuldiging (×) definiëren met de volgende eigenschappen.
De optelling en de vermenigvuldiging zijn commutatief:
a + b = b + a
en
a × b = b × a
De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief:
a + (b + c) = (a + b) + c
en
a × (b × c) = (a × b) × c
Voor de optelling en de vermenigvuldiging gelden de vereenvoudigingswetten: uit a + b = a + c volgt b = c en uit a × b = a × c volgt b = c
Voor de vermenigvuldiging is 1 (één) het eenduidig bepaalde neutrale element:
a × 1 = 1 × a = a (∀a ∈ ℕ)
Verder gelden de volgende distributieve wetten:
a × (b + c) = a × b + a × c
en
(a + b) × c = a × c + b × c
Naast deze algebraïsche eigenschappen bezit ℕ nog een ander soort eigenschappen die uit de axioma’s van Peano voortvloeien, nl. ordeningseigenschappen. Als a ∈ ℕ en b ∈ ℕ, dan zegt men dat a kleiner is dan b (notatie: a < b), indien er een n bestaat zodanig dat a + n = b. Men zegt dan ook wel dat b groter is dan a (notatie: b > a). Uit de axioma’s van Peano volgen dan de volgende ordeningseigenschappen van ℕ.
1. Als a ∈ ℕ en b ∈ ℕ dan geldt óf a = b óf a < b óf b < a (trichotomiewet).
2. Als a, b en c ∈ ℕ met a < b en b < c, dan geldt a < c (transitieve wet).
3. Als a, b en c ∈ ℕ dan gelden de volgende monotoniewetten:
3a. a < b ⇔ a + c < b + c
en
3b. a < b ⇔ ac < bc
4. Iedere niet-lege deelverzameling van ℕ heeft een kleinste element.
Aangezien bij gegeven a ∈ ℕ en b ∈ ℕ de vergelijking a + x = b niet steeds oplosbaar is, breidt men de verzameling ℕ uit tot de verzameling ℤ = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} der gehele getallen. Deze uitbreiding geschiedt als volgt. Men vormt het cartesische produkt ℕ × ℕ van de paren (a, b) met a ∈ ℕ en b ∈ ℕ. In deze verzameling paren definieert men een equivalentierelatie (≡) door te stellen:
(a, b) ≡ (c, d) ⇔ a + d = b + c
De equivalentierelatie geeft aanleiding tot een indeling van ℕ × ℕ in equivalentieklassen, genoteerd als < a, b > enz. De klassen vormen dan ℤ en indien men de klasse < a + p, a > identificeert met p ∈ ℕ, dan omvat ℤ de verzameling der natuurlijke getallen. Vervolgens definieert men in ℤ een optelling en vermenigvuldiging. De optelling heeft behalve de hierboven genoemde eigenschappen de eigenschap dat er een eenduidig bepaald nulelement (notatie: 0) bestaat zodanig dat a + 0 = 0 + a∀a ∈ ℤ, terwijl er bij iedere a ∈ ℤ een element −a bestaat (het tegengestelde van a) zodat a + (−a) = (−a) + a = 0. Een direct gevolg is dat de vergelijking a + x = b nu wel een oplossing heeft, nl. b + (−a). De vereenvoudigingswet voor de vermenigvuldiging in ℤ wordt nu:
als a × b = a × c én a ≠ 0 dan geldt b = c. De verzameling ℤ heeft de structuur van een integriteitsgebied.
In ℤ heeft bij gegeven a ≠ 0 en b de vergelijking a × x = b niet steeds een oplossing. Daarom breidt men (wederom door middel van paarvorming en equivalentierelatie) de verzameling ℤ der gehele getallen uit tot de verzameling ℚ van de rationale getallen (meetbare getallen, gewone breuken) bestaande uit de ‘quotiënten’:
a/b (b ≠ 0)
ook wel genoteerd als:
ab−1
ℚ bezit dan behalve de genoemde eigenschappen van ℤ nog de volgende eigenschap: bij iedere a ∈ ℚ (a ≠ 0) bestaat een element a−1 (het omgekeerde van a) met de eigenschap a × a−1 = a−1 × a = 1.
Een direct gevolg is het dat de vergelijking a × x = b (a ≠ 0) nu wel een oplossing heeft, nl.:
x = b × a−1
genoteerd als: b/a
Bij de uitbreiding van ℕ tot ℤ en van ℤ tot ℚ is het mogelijk de ordening ‘voort te zetten’, d.w.z. ook voor de nieuw ingevoerde getallen kan men de relaties < en > definiëren op zodanige wijze dat de orderelaties, die al bestonden op ℕ, niet verstoord worden. De getallen > 0 worden dan positief genoemd, de getallen < 0 noemt men negatief. Voor de ordening in ℚ gelden dan de regels 1, 2 en 3a, terwijl het analogon van 3b luidt:
als a, b, c ∈ ℚ én c > 0 dan geldt a < b ⇔ ac < bc.
Voorts geldt de stelling van Archimedes:
voor elke r ∈ ℚ bestaat een n ∈ ℕ , zodanig dat n > r.
Na de uitbreiding van ℤ tot ℚ heeft men nog behoefte aan meer getallen. Immers niet iedere algebraïsche vergelijking, d.w.z. een vergelijking van de gedaante anxn + an−1x n−1 + ...+ a1x + a0 = 0 (met ai ∈ ℚ en n ∈ ℕ) heeft een oplossing in ℚ. Eenvoudige voorbeelden daarvan zijn: x2 = 2, x2 = 3. Verder is ook de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de straal daarvan geen rationaal getal; het getal gedefinieerd door: omtrek cirkel = 2 × straal cirkel, is niet rationaal. Ook het getal e, gedefinieerd door:
e = limn→∞ (1 + (1/n))n
is niet rationaal. Daarom heeft men het lichaam ℚ uitgebreid tot het lichaam ℝ der reële getallen. Dit bevat vele (hoewel niet alle) algebraïsche getallen (oplossingen van algebraïsche vergelijkingen) en ook vele (hoewel niet alle) transcendente getallen (niet-algebraïsche getallen). Men kan zich deze reële getallen voorstellen als (evt. oneindig voortlopende) tiendelige breuken.
Het lichaam ℝ heeft met betrekking tot de optelling en de vermenigvuldiging dezelfde eigenschappen als het lichaam ℚ, maar met betrekking tot de ordening onderscheidt het zich van ℚ door de wel in ℝ, maar niet in ℚ geldende stelling van de kleinste bovengrens. Deze stelling houdt in dat iedere naar boven begrensde verzameling V ⊂ ℝ een kleinste bovengrens in ℝ heeft. Een verzameling V heet daarbij naar boven begrensd indien er een getal M is (een bovengrens genaamd) zodat voor elke x ∈ V geldt: x ≦ M. De kleinste bovengrens van een verzameling V is een getal S met de eigenschap dat S een bovengrens is van V, maar dat bij elke ε > 0 een y ∈ V bestaat, zodat S−ε < y ≦ S, m.a.w. een getal kleiner dan S kan geen bovengrens van V zijn.
Een aanschouwelijke voorstelling van de reële getallen verkrijgt men door deze te representeren door de punten op een rechte lijn; men spreekt dan van de getallenrechte.
Complexe getallen.
Omdat het lichaam ℝ van de reële getallen niet alle algebraïsche getallen bevat (bijv. niet de wortels van de vergelijking x2 + 1 = 0), heeft men ℝ uitgebreid tot het lichaam ℂ der complexe getallen, dat gevormd wordt door alle paren (a, b) met a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, waarvoor men een optelling en vermenigvuldiging definieert. In ℂ geldt de hoofdstelling van de algebra volgens welke iedere algebraïsche vergelijking met coëfficiënten in ℂ ten minste één wortel heeft in ℂ. Daaruit valt af te leiden dat deze vergelijking evenveel wortels heeft als haar graad bedraagt.
Met betrekking tot de ordening in ℂ zij opgemerkt dat het niet mogelijk is de op ℝ gedefinieerde ordening zodanig voort te zetten dat de in ℝ geldende regels voor ordening behouden blijven. Men kan de complexe getallen aanschouwelijk voorstellen als punten van een plat vlak: het complexe vlak. Voorts zie Complex getal.
p-adische getallen.
Bij de constructie van de reële getallen kan men gebruik maken van cauchyrijen of fundamentaalrijen, d.w.z. rijen rationale getallen: a1, a2, a3, a4, ... met de eigenschap dat bij gegeven ε > 0 er een rangnummer N(ε) bestaat, zodat
|ap − aq| < ε ∀ p,q > N(ε). Hierin is |ap − aq| de ‘gewone’ absolute waarde. Men kan echter een geheel ander soort absolute waarde invoeren met behulp van een vast priemgetal p, de zgn. p-adische absolute waarde. Daartoe schrijft men het rationale getal a ≠ 0 in de gedaante:
a = t/s pn
waarin t en s geen factoren p bevatten; de p-adische absolute waarde van a definieert men dan als p−n. Hoe meer factoren p een getal bevat, des te kleiner is het bij deze absolute waarde. Met deze absolute waarde definieert men dan een limietbegrip en fundamentaalrijen. Door aan ℚ de limieten van de fundamentaalrijen toe te voegen ontstaat het lichaam der p-adische getallen.