vergelijking waarbij functies gevraagd worden die met hun afgeleiden en de onafhankelijk variabelen voldoen aan een voorgeschreven betrekking. In geval van functies met één variabele spreekt men van gewone differentiaalvergelijkingen; bijv.:
ƒ′′(x) + 3ƒ′(x) + 4ƒ(x) + sin x = 0
Bij functies met meer variabelen waarvan de partiële afgeleiden en de onafhankelijk variabele aan een voorgeschreven betrekking moeten voldoen, spreekt men van partiële differentiaalvergelijkingen, bijv.:
d²f/dx² + d²f/dy² = 0
Gewone differentiaalvergelijkingen
(Fr.: équations différentielles ordinaires; Du.: gewöhnliche Differentialgleichungen; Eng.: ordinary differential equations). Vele belangrijke problemen in de techniek, de natuurkunde, en de sociale wetenschappen, kunnen wiskundig worden geformuleerd als het vinden van een functie, die voldoet aan een vergelijking, welke ook (de) afgeleide(n) van de functie bevat. Met één onafhankelijk variabele is een dergelijke vergelijking een gewone differentiaalvergelijking die kan worden geschreven als:
F(t, x, x', x", ..., x(n)) = 0 (1)
waarin x = x(t) de gezochte functie is; de afgeleiden worden aangegeven door:
x' = dx/dt, x" = d²x/dt², x(n) = dnx/dtn
De functie x = x(t) kan zowel een scalaire als een vectoriële functie zijn. In het laatste geval kan (1) naar de componenten ervan worden uitgeschreven, zodat dan een stelsel differentiaalvergelijkingen ontstaat voor de scalaire functies x1(t), x2(t), ..., xn(t), zijnde de componenten van de vectorfunctie x = x(t).
De orde van de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking noemt men de orde van de vergelijking. Door het invoeren van nieuwe afhankelijk variabelen, bijv. door te stellen y1 = x(t), y2 = x'(t), y3 = x"(t), ....yn = x(n−1)(t), kan men elke hogere-ordevergelijking of stelsel van differentiaalvergelijkingen transformeren tot een stelsel van eersteordedifferentiaalvergelijkingen van scalaire functies. Vat men alle aldus ingevoerde scalaire functies weer op als componenten van een vectorfunctie x = x(t), dan kunnen dus gewone differentiaalvergelijkingen worden gebracht in de vorm van het stelsel:
F(t, x, x') = 0 (2)
Om de problemen, die in de theorie der differentiaalvergelijkingen worden gesteld, te beschrijven is het van belang op te merken dat elke differentiaalvergelijking in het algemeen niet één maar oneindig vele oplossingen heeft. Het basisprobleem uit de theorie der differentiaalvergelijkingen is te onderzoeken, welke klasse van functies aan een gegeven differentiaalvergelijking voldoet en deze zo goed mogelijk te beschrijven.
Tegen het einde van de 17de eeuw waren de meeste elementaire methoden voor het oplossen van de eersteordedifferentiaalvergelijking voor een scalaire functie bekend (Jakob en Johann Bernoulli en Johanns zoon Daniel, en de Italiaanse wiskundige Riccati). Deze methoden geven aan hoe de oplossingen van een differentiaalvergelijking kunnen worden uitgedrukt in elementaire functies zoals algebraïsche en goniometrische functies. Er zijn echter niet veel differentiaalvergelijkingen, waarvoor alle oplossingen expliciet kunnen worden uitgedrukt in elementaire functies. Tot de weinige uitzonderingen hiertoe behoort de klasse der lineaire vergelijkingen met constante coëfficiënten.
Lineaire differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen, waarin x en dx/dt slechts lineair voorkomen; vergelijking (2) kan dan worden geschreven als:
x' = A(t)x + ƒ(t)
waarin A(t) een matrix- en ƒ(t) een vectorfunctie is van t. Voor lineaire vergelijkingen geldt tevens een onderscheid in homogene vergelijkingen (ƒ(t) ≡ 0) en inhomogene vergelijkingen (ƒ(t) ≢ 0).
Homogene differentiaalvergelijkingen voldoen aan het superpositiebeginsel: een lineaire combinatie van oplossingen van de vergelijking vormt weer een oplossing. Op grond van het superpositiebeginsel is het mogelijk gebleken de theorie en oplossingsmethoden voor lineaire differentiaalvergelijkingen tot een veel grotere ontwikkeling te brengen dan voor niet-lineaire vergelijkingen. In het bijzonder geldt, wanneer de coëfficiëntenmatrix A niet van t afhangt, dat de oplossingen op elementaire wijze kunnen worden bepaald. De studie van lineaire differentiaalvergelijkingen met van t afhankelijke coëfficiënten heeft geleid tot het onderzoek van nieuwe klassen van functies, in het algemeen aangeduid met de naam bijzondere functies; in de regel draagt een klasse bijzondere functies de naam van een wiskundige zoals die van Legendre, Bessel, Airy, Hermite, Laguerre, Weber enz.
Niet-lineaire (en overigens ook lineaire) differentiaalvergelijkingen hebben oplossingsmethoden die met behulp van numerieke methoden sterk tot ontwikkeling zijn gekomen door het gebruik van de computer. Tevens is het mogelijk wanneer de differentiaalvergelijking een kleine parameter bevat asymptotische methoden te gebruiken. Bovendien, en in samenhang daarmee, heeft zich ook een kwalitatieve theorie ontwikkeld die het kwalitatieve gedrag van oplossingen van differentiaalvergelijkingen bestudeert.
Zoals reeds gezegd bezit een differentiaalvergelijking in het algemeen oneindig vele oplossingen. Er zijn dus aanvullende voorwaarden nodig ter specificatie van een bepaalde oplossing. Dit kan bijv. door het geven van (een) beginvoorwaarde(n): voor een waarde t0 van t wordt de waarde x0 = x(t0) gegeven waaraan een oplossing van (2) moet voldoen; de theorie bestudeert voor welke functies F(t, x, x') een eenduidige oplossing van het beginwaardeprobleem mogelijk is en hoe deze oplossing afhangt van de beginwaarden.
Tevens wordt onderzocht hoe de oplossing afhangt van eventuele parameters in de vergelijking. In de systeemtheorie beschouwt men bovendien het geval dat deze parameters nog afhangen van t; zij worden dan stuurvariabelen genoemd.
De oplosbaarheid van het beginwaardeprobleem wordt in de regel bestudeerd aan de hand van een equivalente integraalvergelijking. Een eerste behandeling van het probleem van de eenduidige oplosbaarheid van dergelijke integraalvergelijkingen is gegeven door Picard door gebruik te maken van de methode van opeenvolgende benaderingen. Door de ontwikkeling van de functionaalanalyse wordt het probleem thans behandeld door gebruikmaking van dekpuntstellingen in functieruimten.
Een andere methode om een bepaalde oplossing van een differentiaalvergelijking te specificeren is het geven van randvoorwaarden. Dan ontstaat een randwaardeprobleem: op de eindpunten van een interval van de t-as worden aan de functie x = x(t) zekere voorwaarden opgelegd, terwijl de functie op het interval moet voldoen aan de differentiaalvergelijking. Ook dit probleem kan weer in de vorm van een integraalvergelijking worden geformuleerd. Een belangrijke klasse randwaardeproblemen vormen de eigenwaardeproblemen, met velerlei toepassingen zoals knikverschijnselen en trillingsverschijnselen.
Partiële differentiaalvergelijkingen
(Fr.: équations différentielles aux dérivées partielles; Du.: partielle Differentialgleichungen; Eng.: partial differential equations) worden gegeven als een relatie van de vorm:
F(x, y, ..., u, ux, uy, ..., uxx, uxy, ...) = 0 (1)
waarbij F een functie is van de variabelen x, y, ..., u, ux, uy, ..., uxx, uxy, ... Een functie u(x, y, ...) van de onafhankelijk variabelen x, y, ...wordt gezocht zodanig dat aan de relatie (1) wordt voldaan, indien in F gesubstitueerd wordt:
u(x, y, ...)
en de partiële afgeleiden:
ux = ∂u/∂x , uy = ∂u/∂y , …, …
uxx = ∂²u/∂x² , uxy = ∂²u/∂x∂y , …, …
⋮
…, …
Zo’n functie u(x, y, ...) wordt een oplossing van de partiële differentiaalvergelijking (1) genoemd.
Vergelijking (1) wordt een gewone differentiaalvergelijking indien het aantal onafhankelijk variabelen gelijk is aan 1.
De differentiaalvergelijking wordt lineair genoemd indien F lineair is in de variabelen u, ux, uy ..., uxx, uxy, ..., waarbij de coëfficiënten slechts functies mogen zijn van de onafhankelijke variabelen x, y, ... Indien F lineair is in de afgeleide van de hoogste orde (zeg de n-de) met coëfficiënten die afhankelijk mogen zijn van de onafhankelijk variabelen x, y, ...en van u en zijn afgeleiden tot de (n − 1)-de orde, dan wordt de differentiaalvergelijking quasi-lineair genoemd.
In het geval van twee onafhankelijk variabelen x, y kan de oplossing u(x, y) van de differentiaalvergelijking (1) meetkundig worden voorgesteld als een oppervlak, ook wel genoemd integraaloppervlak, in de x, y, u-ruimte.
Zeer veel problemen uit de mathematische fysica zijn te herleiden tot differentiaalvergelijkingen. Om een oplossing van een bepaald fysisch probleem te vinden moet men enige bijbehorende gegevens verstrekken. Naar de aard van deze gegevens spreekt men van begin(voor)waardeproblemen, randwaardeproblemen of beginrandwaardeproblemen.
Een beginwaardeprobleem kan bijv. voor de golfvergelijking uxx − uyy = 0 gegeven worden; een oplossing van deze vergelijking ligt in ieder punt van het x, y-bovenhalfvlak éénduidig vast, indien op de beginkromme (x-as) de waarde van u én de eerste partiële afgeleide uy bekend zijn.
Een randwaardeprobleem kan bijv. voor de potentiaalvergelijking uxx + uyy = 0 gegeven worden; een oplossing van deze vergelijking ligt bijv. in ieder punt binnen een cirkel éénduidig of op een constante na vast, indien de waarde van u óf diens normale afgeleide op de cirkel bekend is. Als voorbeeld van een beginrandwaardeprobleem wordt gezocht naar de oplossing van de golfvergelijking voor een strip welke in het bovenhalfvlak van het x, y-vlak ligt; de strip wordt begrensd door de x-as en twee rechten welke evenwijdig lopen aan de y-as. Op het stukje x-as worden u en uy gegeven (beginwaarden) en op de rechten evenwijdig aan de y-as wordt de waarde van u alleen gegeven (randwaarden). Begin- en randvoorwaarden kunnen niet naar willekeur gesteld worden; voor bepaalde differentiaalvergelijkingen zijn slechts beginwaardeproblemen mogelijk en voor andere slechts randvoorwaardenproblemen.
Aan de hand van een enkele eersteorde-partiële differentiaalvergelijking zullen enkele speciale kenmerken van beginwaardeproblemen, ook wel genoemd cauchyproblemen, belicht worden, bijv. het geval dat twee onafhankelijke variabelen optreden; het zal duidelijk zijn dat de theorie eenvoudig uit te breiden is tot gevallen waarin een willekeurig eindig aantal onafhankelijke variabelen voorkomen. In de lineaire vergelijking:
a(x, y)ux + b(x, y)uy = c(x, y)u + d(x, y) (2)
stelt het linkerlid de afgeleide van u(x, y) in de richting a(x, y), b(x, y) voor. Indien die krommen in het (x, y)-vlak beschouwd worden waarvan de raaklijnen in ieder punt deze richting (a(x, y), b(x, y)) hebben, m.a.w. de éénparametrische familie van krommen welke gedefinieerd wordt door de gewone differentiaalvergelijkingen:
dy/dx = (b(x,y))/(a(x,y)) (3)
dx/dt = a(x, y), dU/dt = b(x, y)
dan bezitten zij de eigenschap dat langs deze krommen u(x, y) voldoet aan de
gewone differentiaalvergelijking:
du/dx = (c(x,y)u + d(x,y))/(a(x,y))
ofwel
du/dt = c(x, y)u + d(x, y) (4)
De éénparametrische familie van krommen Cλ gedefinieerd door (3) worden de ‘karakteristieke’ krommen van de differentiaalvergelijking genoemd. Veronderstel nu dat van u(x, y) een beginwaarde gegeven is en een punt x0, y0 van het x, y-vlak. De existentie en éénduidigheid van het beginwaardeprobleem voor gewone differentiaalvergelijkingen leert dat (3) een éénduidige karakteristieke kromme tot oplossing heeft, en wel:
x = x(x0, y0t), y = y(x0, y0, t) (5)
waarlangs
u = u(x0, y0, t) (6)
éénduidig bepaald is door (4). Dus als u gegeven is in één punt, dan is hiermee u bepaald langs de gehele karakteristieke kromme door dat punt. Dit suggereert dat als beginwaarden voor u gegeven worden langs een kromme Γ welke de karakteristieken Cλ snijdt, door middel van (5) en (6) een éénduidige oplossing u(x, y) kan worden bepaald in het gehele gebied dat overdekt wordt door Cλ. De kromme Γ, welke de beginkromme genoemd wordt, kan niet geheel willekeurig gekozen worden en mag niet nogmaals dezelfde karakteristiek snijden.
Partiële differentiaalvergelijkingen van hogere dan de eerste orde vertonen zo veel totaal verschillende eigenschappen, dat één alles omvattende algemene theorie niet bestaat. Er wordt onderscheid gemaakt in drie typen, nl. elliptische, hyperbolische en parabolische differentiaalvergelijkingen, waarbij ieder type een totaal verschillend gedrag bezit wat betreft eigenschappen en constructie van de oplossingen. Enige klassieke differentiaalvergelijkingen van fysisch belang welke representatief zijn voor de drie verschillende categorieën, zijn de volgende differentiaalvergelijkingen voor u(x, y, z):
potentiaalvergelijking of laplacevergelijking (elliptisch):
uxx + uyy + uzz = 0
golfvergelijking (hyperbolisch):
uxx + uyy + uzz = 0
warmtevergelijking of diffusievergelijking (parabolisch):
uz = uxx + uyy
Voor lineaire en quasi-lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde in twee onafhankelijke variabelen kan de classificatie op eenvoudige wijze uitgevoerd worden zonder gebruik te maken van een algemene theorie zoals beschreven in de literatuur.
De differentiaaloperator L[u] = auxx + 2buxy + cuyy en de daarmee te vormen differentiaalvergelijking L[u] + g(x,y,u,ux, uy) = 0 heet in een gebied G van het x,y-vlak hyperbolisch als in dit gebied geldt ac − b2 < 0, parabolisch als ac − b2 = 0 en elliptisch als ac − b2 > 0.
Indien niet alle drie coëfficiënten a, b en c constant zijn kan de differentiaalvergelijking in het ene gebied hyperbolisch en in een ander gebied elliptisch zijn en op de grens van de twee gebieden parabolisch. Met behulp van de algemene theorie kan worden aangetoond dat een beginwaardeprobleem (cauchyprobleem) een éénduidige oplossing heeft indien de differentiaalvergelijking hyperbolisch is en de kromme waarlangs de beginwaarden gegeven worden aan enkele extra eisen voldoet. Tevens kan worden aangetoond dat in het elliptische geval de problemen correct gesteld zijn indien langs een gesloten kromme de waarde van de functie u (dirichletprobleem) óf de waarde van de normaal afgeleide ∂u/∂n wordt gegeven (Neumann). In het laatste geval is de oplossing niet éénduidig. Het is ook mogelijk een relatie tussen de functie en diens afgeleide voor te schrijven.