ABBE (: theorie van het microscoop)

betekenis & definitie

theorie opgesteld door Ernst Abbe welke een belangrijke bijdrage vormde tot het inzicht in de manier waarop de beeldvorming in een microscoop tot stand komt. De basisideeën kunnen worden toegelicht aan de hand van de afbeelding, waarbij aangetekend moet worden dat uit oogpunt van duidelijkheid de verhoudingen enigszins geweld is aangedaan. Een puntvormige lichtbron P, in het brandpunt van een condensorlens belicht een tralievormig voorwerp, dat bestaat uit een periodieke afwisseling van ondoorzichtige gebieden en smalle spleetvormige openingen, waarvan in de afbeelding er twee zijn aangeduid met A en B. Het tralie wordt dus getroffen door een vlakke golf. Volgens het principe van Chr. Huygens gaan de tralieopeningen als nieuwe lichtbronnen optreden, in dit geval als bronnen die met dezelfde fase secundaire golven produceren.

Onderwerp van de volgende beschouwing is het beeld dat het objectief van het tralie vormt. Volgens de wetten van de geometrische optica zijn A' en B' de beelden van A en B (die als zeer nauwe openingen gekozen worden). Aan iedere tralieopening wordt het licht naar alle richtingen afgebogen; voor nauwe openingen zijn het vrijwel puntbronnen. De stralen a ₁ tot en met a₄, afkomstig van A, worden dus door het objectief naar A' gebroken; hetzelfde geldt voor b₁ tot en met b₄ met betrekking tot B en B'.

De straling uit A en B kan echter ook op een iets andere wijze gevolgd worden. Stralen uit A en B, die in dezelfde richting vertrekken, zoals a₁ en b₁ of a₂ en b₂ enz., worden door het objectief in zijn brandvlak geconvergeerd. Omdat A en B in fase golven uitzenden (coherent zijn) zal er in het brandvlak een interferentiepatroon ontstaan (fraunhoferpatroon). Zo is de richting van a₁ en b₁ zodanig gekozen, dat hun weglengteverschil gelijk is 2λ, waarbij λ de golflengte is van het gebruikte licht. Dit betekent dat in het bijbrandpunt I₂ de stralen a₁ en b₁ in fase aankomen, zodat in I₂ een interferentiemaximum ontstaat. Evenzo hebben a₂ en b₂ een wegverschil λ nl. BC (hetzelfde geldt voor a₄ en b₄) en geven ze in I₁ een maximum. De stralen a₃ en b₃ hebben een wegverschil 0 en versterken elkaar dus in I₀; I₀,I₁ en I₂ worden genoemd: interferentiemaxima van de 0de, 1ste en 2de orde. Voorts zie Interferentie.

Het zal duidelijk zijn dat straling die onder grotere hoeken met de optische as door het tralie worden afgebogen, in het brandvlak aanleiding geven tot hogere orde-maxima. Abbe laat nu het feitelijke beeld ontstaan door de punten I₀, I₁; I₂, … als bronnen op te vatten, die het beeldvlak belichten (hetgeen is toegestaan als een groot aantal tralieopeningen aan de beeldvorming meedoet, omdat dan de interferentiemaxima in I₀, I₁ enz. zeer sterk gepiekt zijn). De afstanden tussen de maxima zijn gelijk aan fλ/d, waarbij ƒ de brandpuntsafstand van het objectief is en d de spleetafstand. De bronnen I₀, I₁, ... zijn weer coherent, d.w.z. ze stralen met een vaste onderlinge faserelatie. De beide bronnen I₁ stralen met precies dezelfde fase. Er is echter een (vast) faseverschil met I₀, I₂, ..., hetgeen duidelijk is bij de overweging dat bijv. uit B de golven met dezelfde fase vertrekken en dus ook met dezelfde fase in B' arriveren.

De analyse van Abbe nu leidde tot het volgende resultaat: wanneer al het licht dat door de tralieopeningen wordt afgebogen, aan de beeldvorming meedoet (hetgeen inhoudt dat het objectief oneindig groot moet zijn) dan zullen de (oneindig vele) interferentiemaxima in het brandvlak, opgevat als nieuwe bronnen, in het beeldvlak een interferentiepatroon produceren dat een exacte (vergrote) kopie van het tralie is. De bronparen I₁, I₂ enz. leveren elk een ruimtelijke fouriercomponent van het beeldpatroon.

In de praktijk heeft het objectief (of in het algemeen hoekbegrenzende apertuur) eindige afmetingen. Daardoor zal ook het aantal interferentiemaxima I eindig zijn. Het beeld dat nu ontstaat mist de fouriercomponenten met frequenties groter dan een bepaalde waarde, hetgeen in concreto betekent dat de scherpe kanten in het beeld verdwijnen alsmede de fijnere details, hetgeen ook in is te zien bij de overweging dat juist deze facetten van het voorwerp een grote bijdrage geven tot straling, die sterk is afgebogen en dus niet meer door het objectief wordt meegenomen. Abbe formuleerde het als volgt: het beeld dat ontstaat is een kopie van een voorwerp, dat aanleiding geeft tot het feitelijke interferentiepatroon in het brandvlak.

De interferentie achter het brandvlak strekt zich uit over de hele ruimte. Ter plaatse van het beeldvlak dat uit de geometrische optica volgt, vertoont het patroon echter speciale eigenschappen. Op die plaats is altijd een ondubbelzinnige toevoeging tot het voorwerpspatroon mogelijk. Verder blijft het patroon op zijn plaats, wanneer men de puntbron P verschuift in zijdelingse richting, in tegenstelling tot bijv. het patroon in het brandvlak.

Deze elementaire behandeling kan tot reële situaties worden uitgebreid door bij een eindige lichtbron te integreren over puntvormige bijdragen en een onregelmatig gestructureerd voorwerp opgebouwd te denken uit vele regelmatige openingen met verschillende breedte. Naarmate de tralieopeningen dichter bij elkaar komen te liggen (kleinere d) zullen de stralen, die de verschillende maxima in het brandvlak opleveren, een steeds grotere hoek met de optische as maken. Wanneer d zo klein is dat a₂, b₂ en a₄, b₄ het objectief niet meer treffen, zal alleen I₀ nog maar voorkomen, die resulteert in een uniforme belichting van het beeldvlak. De structuur van het tralie is dan volledig verdwenen.

Principe van Abbe.

De structuur van het tralie blijft in minimale vorm aanwezig in het beeld, als naast I₀ ook de beide maxima I₁ nog aan de beeldvorming meedoen. Deze eis kan nog iets worden afgezwakt, wanneer het tralie scheef belicht wordt. In feite is het voldoende als naast het 0de orde-maximum een van beide 1ste orde-maxima aan de beeldvorming meedoet. Deze laatste eis vormt de inhoud van het principe van Abbe, die dus de opening van het objectief correleert aan het oplossend vermogen van het systeem. Daarnaast treedt ook de opening van de condensorlens op, die immers bepaalt in welke mate er scheef belicht kan worden. Voorts dient te worden opgemerkt dat de theorie van Abbe benaderend is waar er geen rekening wordt gehouden met het feit dat een (klein) deel van het licht in nevenmaxima terecht komt tussen de hoofdmaxima I₀, I₁, …; verder kunnen de hoofdmaxima soms slechts een deel van het totaal voor hen bestemde licht ontvangen. Hoewel afgeleid voor microscoopsystemen, wordt de theorie van Abbe tegenwoordig in hoofdzaak gebruikt om optische systemen te analyseren die niet vrij zijn van aberraties (wat bij microscoopobjectieven wel in grote mate het geval is).