Imprimitief - 1) van een eenheidswortel: een nde machtswortel uit de eenheid e = p'1 heet imprimitief, wanneer een lagere macht m dan de wde ook reeds 1 oplevert, dus wanneer tm = 1 voor m < n. Dit komt alleen voor, als n deelbaar is door m. Bijv. van de 4e machtswortels uit 1, nl. 1, — 1, », — i, zijn 1 en — 1 imprimitief, omdat reeds l1 = 1, (— l)2 = 1.
2) van een groep: Wanneer n elementen aan de bewerkingen van een groep G worden onderworpen, kan ’t gebeuren, dat deze n elementen in m stelsels Hy, H2, . . . Hm, ieder u van — = p elementen kunnen verdeeld worden zóódanig, dat een bewerking (substitutie) S, die een element van II1 in een ander element van II y omzet, alle elementen van lly in Hy houdt, terwijl elke bewerking (substitutie) 8, die een element van Hy in een element van Hk omzet (k = 2,... m), ook elk element van H1 in een element van hetzelfde stelsel Hk omzet. In dit geval heet de groep G imprimitief. De stelsels Hy, II2,. .. Hm vormen dan complexen, die in hun geheel óf onveranderd worden gelaten (bijv. Hy door S), óf omgezet worden (bijv. Hy door S' in Hk ).
heeten de imprimiviteitsstelsels. Voorbeeld: onder de permutaties van 4 elementen a, b, c, d komt een groep voor van 8 permutaties: nl. ab c d, a cb d, b a d c, b d a e, ca db, cd ab, db ca, d cb a. De elementen laten zich onderverdeelen in 2 stelsels n.l.
. .ad II2... b c; een transformatie (permutatie), die één element van Hy omzet in een element van bijv. abcd->acbd houdt alle elementen (a en d) van II y in IIy; de elementen van 2 worden door die transformatie ook slechts onderling verwisseld (b c wordt c b). De transformatie abcd-cdab brengt a naar c, d naar b, dus alle elementen van naar elementen van 2 en omgekeerd. Deze 8 permutaties duiden als evenredigheid geschreven a : b = c : d onderling hetzelfde verband aan tusschen a, b,cend, n.l. ad=bc. Deze groep van de 8e orde is dus imprimitief. Ze is isomorph met de 8 draaiingen van ’t vierkant ^ ^ (ad en b c diagonalen) om de loodlijn in ’t middelpunt van ’t vierkant op ’t vlak opgericht, om de diagonalen, en om de verbindingslijnen van de middens van overstaande zijden, welke draaiingen het vierkant in een congruenten stand overbrengen.
De groep G en de stelsels kunnen ook uit oneindig veel bewerkingen resp. elementen bestaan. Bijv. gaat men uit van een complex getal x + i y en bestaat de „bewerking” in ’t optellen bij x + i y van ’t getal a + ib, dan krijgt men getallen x + i y, waarbij x' = x + a, y = y + b. Beschouwt men nu alle getallen, die hetzelfde reëele deel Xy hebben, met alle mogelijke waarden van y, dan vormen die een stelsel Ay; dit wordt in rust gelaten door die bewerkingen of transformaties, waarbij a = 0; immers dan is x’—Xy; terwijl als a 0 het heele stelsel Ay overgaat in het stelsel As, waarvoor x = Xy + a = x2 (met alle mogelijke waarden voor y). Zoo vormen ook de verschuivingen in ’t platte vlak (en evenzoo in de ruimte) een imprimitieve groep. Rangschikt men n.l. de punten van ’t vlak in een stel evenwijdige lijnen, dan gaat elke lijn door een willekeurige verschuiving over öf in zichzelf öf in een daarmede evenwijdige lijn. De groep echter van alle bewegingen (verschuivingen èn draaiingen) is niet imprimitief, dus primitief.
