Groepentheorie - onderdeel der wiskunde, waarin de groepen worden ontleed en in klassen gerangschikt. De hoofdindeeling der groepen maakt scheiding tusschen de discrete groepen en de continue groepen. De discrete groepen worden onderverdeeld in eindige en oneindige groepen.
Tot de eindige groepen behooren de groepen der rangschikkingen (permutaties) van een zeker aantal elementen. De eenvoudigste permutatiegroep heeft betrekking op twee elementen a, b. De groep bestaat uit 2 rangschikkingen. Hierbij moet de permutatie, waarbij de volgorde onveranderd wordt gelaten, meetellen als de z.g. identieke permutatie (identiteit). Uitgaande van de rangschikking a b heeft men dus 2 permutaties: 10. de identiteit a b, 20. de eenige niet-identieke permutatie b a. Herhaalt men deze laatste permutatie, dan krijgt men weer de identiteit terug. Duidt men de niet-identieke permutatie aan door ’t voorvoegsel P, dan heeft men (b a) = P (a b) en (a b) = P (b a) = P [P (a b)]. Men kan nu ongestraft schrijven P [P (a b)] = P2 (a b)] en vindt dus P2(a b) = (a b) of P2 = 1. Men heeft hier een eenvoudig geval van een z.g. cyclische (rondloopende) groep, d. i. een groep, die geheel opgebouwd kan gedacht worden uit de herhalingen van éénzelfde bewerking, en waarbij de ne herhaling (hier de 2e) weer tot de identiteit terugvoert. In ’t algemeen heet het aantal bewerkingen, waaruit de groep bestaat, de orde van de groep.
De hier beschouwde cyclische groep van de 2e orde (n = 2) vindt men terug in de algebraïsche „substitutiegroep” x' = x, immers door deze bewerking (het tegengesteld nemen) te herhalen, komt men tot de oorspronkelijke waarde x terug: x" = x = (x) = x. De beide „substituties” x' = x (identiteit) en x' = x vormen samen een cyclische groep van de 2e orde. Evenzoo vormen x' = x en x' = 1/x samen een dergelijke groep; ook x' = x, x' = 1/x; ook x' = x, x' = x/x-1. Dezelfde cyclische groep van de 2e orde treft men aan bij de spiegeling van een vlakke figuur t. o. van een zekere rechte lijn; ook bij de draaiïng over 180° om een gegeven punt. De verwisseling van de eene wortel (a) van een vierkantsvergelijking met de andere (b) is ten slotte ook niets anders dan een substitutie van een cyclische groep der 2e orde. Bij deze verwisseling blijft de vierkantsvergelijking x2 + p x + q = 0, waarvan a en b de wortels zijn, ongerept. De coëfficiënten p en q zijn invarianten voor die cyclische groep, evenals alle symmetrische functies der wortels: a2 + b2, a3-3ab+b3/a + b enz.
De oplossing van de vierkantsvergelijking is zoo eenvoudig dank zij de zeer eenvoudige permutatiegroep der wortels. Bij de substitutie x' = x zijn x2, x4,... invariant, in ’t algemeen elke functie die uit even machten van x is opgebouwd; bij de substitutie x' = 1/x zijn x + 1/x, x2 + 1/x2 invariant; bij de spiegeling zijn de afstanden tot de spiegellijn invariant, bij de draaiing over 180° de afstanden tot het draaipunt (en de richting der lijnen). Beschouwt men 3 elementen a, b, c, dan heeft men, met de identiteit mee, in ’t geheel 6 permutaties: abc, acb, bca, bac, cab, cba. De permutatie acb bestaat in ’t onveranderd laten van de eerste letter (a) en ’t verwisselen der beide volgenden (b en c). Deze permutatie geeft bij herhaling abc terug.
Noemt men acb = P (abc), dan is P2 = 1. De permutatie bca = Q (abc) geeft bij herhaling: Q2 (abc) = Q (bca) = cab, en bij verdere herhaling: Q3 (abc) = Q (cab) = abc, zoodat Q3 = 1; d. w. z. de 3-voudige toepassing van Q voert tot de identiteit terug. De bewerkingen 1, Q, Q2 vormen dus een cyclische groep van de 3e orde. Men kan nu de geheele permutatiegroep uit de grondpermutaties P en Q opbouwen; leest men de volgorde der bewerkingen P, Q, van rechts naar links, dan hebben we: acb = P (abc), bca = Q (abc), bac = P Q (abc) Q2 P (abc), cab = Q2 (abc), cba = P Q2 (abc) = Q P (abc). Men heeft dus ‘t schema 1 Q Q2 P PQ PQ2.
Een groep beantwoordend aan dit schema heet diëdergroep van de 6e orde. Deze samenstelling toch heeft ook de groep der ruimtelijke draaiingen, die een vlakken regelmatigen (gelijkzijdigen) driehoek ABC (als dubbelvlak, diëder, beschouwd) in een congruenten stand overbrengen. De draaiingen om de loodlijn in ’t middelpunt van den driehoek op ’t vlak opgericht, bedragen 120°; ze vormen een cyclischen groep 1, Q, Q2 van de 3e orde. De wentelingen van het vlak om één bissectrice, bijv. A A’ over 180° vormen een cyclische groep van de 2e orde 1, P. Bij P blijft het hoekpunt A invariant, bij Q de kant van het vlak, en zoodoende de cyclische opeenvolging der hoekpunten, bij ABC tegen de klok in (⤴, of met de klok mee (⤵). Deze zelfde diëdergroep van de 6e orde vormen de 6 lineaire substituties, die de 6 waarden van de dubbelverhouding van 4 punten A, B, C, D in elkaar omzetten. Noemt men (ABCD) = AC/BC : AD/BD en stelt men (ABCD) = (DCBA) = x (zie dubbelverhouding), ( ACBD) = ( DBCA) = x', dan is x' = 1 x, dus 1 x' = 1 (1 x) = x; stelt men dus x' = P (x), dan is P2 = 1.
De diëdergroep van de 6e orde behoort bij de derde-graadsvergelijking; een permutatie der 3 wortels a, b, c van deze vergelijking laat de vergelijking ongewijzigd. De oplossing van de derde-graadsvergelijking berust op het splitsen van de diëdergroep in de beide samenstellende cyclische groepen resp. van de 2e en 3e orde. Deze heeten ondergroepen van de diëdergroep. De diëdergroep van de orde 2n bestaat uit een cyclische groep van de 2e orde: 1, P (P2 = 1) en een cyclische groep van de ne orde: 1, Q, Q2, . . . Qn-1 (Qn = 1); ze heeft dus ’t schema 1, Q, Q2,... Qn-1 P, PQ, PQ2,... PQn-1 Deze groep vormen de 2n ruimtelijke draaiïngen, die een regelmatigen vlakken n-hoek (dubbelvlak) in een congruenten stand overbrengen. — De diëdergroep van de 4e orde heeft 1 Q P PQ (P2 = 1, Q2 = 1); hij omvat de ruimtelijke draaiingen, die een (vlakken) rechthoek in een congruenten stand overbrengen. De groep heet dan ook rechthoeksgroep (Groupe rectangulaire) of vier-groep (Vierergruppe). Een permutatie van eenige elementen a, b, c, d, e,. .., waarbij slechts 2 elementen onderling verwisseld worden, heet transpositie, bijv. a d c b e... is een transpositie van a b c d e...
Elke permutatie kan verkregen worden als resultaat van hetzij een even, hetzij een oneven aantal transposities. Bijv. bij abcd kan de permutatie dacb verkregen worden door de 2 transposities abcd ➝ dbca en dbca ➝ dacb, en de permutatie dcab door 3 transposities, n.l. door de beide zooeven genoemde en bovendien dacb ➝ dcab. Een permutatie, die uit een even aantal transposities kan opgebouwd worden, heet even permutatie, een perm., die uit een oneven aantal transp. kan opgebouwd worden, een oneven permutatie. De n (n 1) (n 2) x ... x 2 x 1= n! permutaties van n elementen zijn voor de helft even permutaties; deze vormen samen een groep, de z.g. alterneerende groep. De oneven permutaties vormen geen groep, omdat een opeenvolging van 2 oneven permutaties een even permutatie levert, die dus niet tot de oneven permutaties behoort.
De 24 permutaties van 4 elementen a, b, c, d bestaan uit de 12 even permutaties: abcd, acdb, adbc, badc, bcda, bdac, cabd, cbda, cdab, dacb, dbac, dcba en de 12 oneven permutaties: abdc, acbd, adcb, bacd, bcad, bdca, cadb, cbad, cdab, dabc, dbca, dcab. De 12 even permutaties zijn opgebouwd uit de cyclische groep van de 2e orde abcd, badc... P (abcd) = (badc), uit de cyclische groep van de 2e orde abcd, cdab ... Q (abcd) = (cdab), die met de vorige te zamen een rechthoeksgroep vormt, waartoe ook behoort PQ (abcd) = QP (abcd) = (dcba), — en uit de cyclische groep v. d. 3e orde: abcd, acdb, adbc... R (abcd) = (acdb), R2 (abcd) = (adbc). Deze groep der 12 even permutaties van 4 elementen heet de tetraëdergroep, omdat ze dezelfde is als de groep der 12 ruimtelijke draaiïngen, die een gegeven regelmatig viervlak (tetraëder) ABCD in een congruenten stand brengen. P is de draaiïng over 180° om de lijn, die de middens der ribben AB en CD verbindt; Q is de draaiïng over 180° om de lijn, die de middens der ribben AC en BD verbindt; P Q is de draaiïng over 180° om de lijn, die de middens van AD en BC verbindt. R is de draaiïng over 120° om de lijn, die ’t hoekpunt A verbindt met het middelpunt van het overstaande zijvlak BCD. Het schema van de tetraëdergroep is 1 P Q PQ R PR QR PQR R2 PR2 QR2 PQR2 Deze groep vormen ook de z.g. tetraëdersubstituties, waarvan een voorbeeld gegeven wordt in P...x = x, Q...x' = 1/x, R...x' = i x+1/x-1.
De functie I = (x4 + 2 i √3 . x2 + 1/x4 2 i √3 . x2 + 1)3 is hier invariant voor alle substituties. De 24 even en oneven permutaties samen vormen een groep, waarvan de samenstelling verkregen wordt door aan de tetraëdergroep nog één permutatie toe te voegen, n.l. bijv. S (abcd) = (dcab); dan is S2 (abcd) = S (dcab) = (badc) = P (abcd), dus S2 = P; de groep wordt zoodoende:
1 S S2 S3 Q SQ S2Q S3Q R SR S2R S3R QR SQR S2QR S3QR R2 S R2 S2R2 S3R2 QR2 SQR2 S2QR3 S3QR2 Deze groep vormen de ruimtelijke draaiïngen, die een kubus, d. i. een regelmatig zesvlak (hexaëder), of ook een regelmatig achtvlak (octaëder) in een congruenten stand overbrengen. Vandaar dat de groep octaëdergroep heet. De cyclische permutatie S van de 4e orde komt overeen met de draaiïng over 90° van het octaëder om de verbindingslijn van twee overstaande hoekpunten, of van den kubus om de verbindingslijn van de middens van twee overstaande zijvlakken. Deze octaëdergroep is gelijk van samenstelling met de groep der „octaëdersubstituties”, die men bijv. krijgt door voor Q te nemen x' = 1/x, voor R . . . x' = i (x + 1/x-1) en voor S ... x' = i x, zoodat P = S2 geeft P... x" = i (i x)= x. De invariante functie is hier I = (x8 + 14 x4 + 1)3 /x4 (x4 1)4.
De octaëdergroep behoort ook bij de vergelijking van den 4en graad, waarbij de 4 elementen a, b, c, d de wortels der vergelijking zijn. De coëfficiënten der vergelijking zijn invariant t. o. van de octaëdergroep. De oplossing van de 4e-graadsvergelijking komt neer op de ontbinding van de octaëdergroep in zijn ondergroepen, De 120 permutaties van 5 elementen worden weer verdeeld in 60 even permutaties en 60 oneven permutaties. De uit de 60 even permutaties bestaande alterneerende groep komt overeen met de groep der 60 ruimtelijke draaiingen van een regelmatig twaalfvlak (dodekaëder) of ook van een regelmatig twintigvlak (icosaëder); de groep der 60 even permutaties heet daarom ook icosaëdergroep; ze is opgebouwd uit een cyclische groep van de 2e orde (overeenk. met dr. over 180° om de verb.l. d. middens van 2 overst. ribben), uit een cyclische groep van de 3e orde (overeenk. met een dr. over 120° om de verb.l. van de middelpunten van 2 overstaande (driehoekige) zijvlakken, en uit een cyclische groep van de 5e orde (overeenk. met een dr. over 72° om de verb.l. van 2 overst. hoekpunten). De icosaëdersubstituties vormen dezelfde groep. De meest gebruikelijke icosaëdergroep heeft tot invariante functie: I = (x20 + 228x15 + 494x10 228x5 + 1)3 / x5 (x10-11x5 1)5. De hier genoemde groepen heeten samen polyëdergroepen.
Wanneer twee groepen dezelfde samenstelling hebben, zoodat ze alleen verschillen in den aard der bewerkingen en dus in ’t object waarop die bewerkingen worden toegepast, heeten ze isomorph; elke bewerking van de eene groep komt dan overeen met één en slechts één bewerking van de andere groep; zoo is de substitutiegroep der dubbelverhoudingen isomorph met de groep der 6 permutaties van 3 elementen, de (octaëder)groep der octaëdersubstituties isomorph met de groep der draaiïngen van ’t octaëder en met de groep der permutaties van 4 elementen.
Wanneer een zekere groep G ontstaat, door alle bewerkingen van een bepaalde groep g met dezelfde bewerking te combineeren, heet g een ondergroep van G. Zoo is de cyclische groep van de orde 2 ... 1, P een ondergroep van de rechthoeksgroep 1 Q P PQ en van elke diëdergroep 1 Q Q2… Qn-1 P PQ PQ2.. PQn-1;
zoo heeft elke diëdergroep van de 2ne orde tot ondergroep de cyclische groep 1, Q,... Qn-1; zoo heeft de tetraëdergroep (1, P, Q, R) (zie boven) tot ondergroep de rechthoeksgroep (1, P, Q), en heeft de octaëdergroep tot ondergroep de tetraëdergroep en al de ondergroepen van deze; de icosaëdergroep heeft ook een aantal ondergroepen, o. a. een rechthoeksgroep.
De tegengestelde bewerking van een bewerking P wordt aangeduid met P 1, haar herhaling met P 2, enz. Laat men het object eerst de bewerking P-1 ondergaan, dan de bewerking T en ten slotte de bewerking P, zoodat de eindtoestand het resultaat is van de bewerking T = PTP1, dan heet T' de getransformeerde van T door P. Onderwerpt men alle bewerkingen T van een groep g aan transformatie door P, dan vormen de nieuwe bewerkingen T' weer een groep g', de getransformeerde van g door P. Wanneer nu g een ondergroep is van een groep G en P een bewerking is van G, die niet tot g behoort, dan zijn 2 gevallen mogelijk: 1°. de groep g' is geheel verschillend van g, 2°. g valt met g samen. Wanneer nu g' met g samenvalt, welke P men ook uit de groep G kiest, dan heet g een invariante of alleenstaande ondergroep van G (normaaldeeler, ausgezeichnete Untergruppe). Voorb.: G is de groep der 6 permutaties van 3 elementen; g is de cyclische groep v. d. 3e orde 1, Q, Q2; vormt men nu Q' = PQP -1, dan is P-1 = P, omdat P2 = 1 is, QP1 = QP = PQ2, dus PQP-1 = P2Q2 = Q2; de bewerking Q' is dus Q2, behoort dus tot g; evenzoo behoort PQ2P-1 = QPP -1 = Q tot g; derhalve valt g' samen met g, en is g een invariante ondergroep. — Een groep, die invariante ondergroepen heeft, heet samengesteld, een groep, die geen invariante ondergroepen heeft, heet enkelvoudig. De diëder-, tetraëder- en octaëdergroepen zijn samengesteld; de icosaëdergroep daarentegen is enkelvoudig. Is een groep G van de orde N samengesteld, dan is de orde n van elke invariante (alleenstaande) ondergroep een deeler van N; het quotient N/n = v heet de index van de ondergroep g in G, ook wel factor van de groep G.
Van zeer veel gewicht is de stelling, dat een continue transformatiegroep in één veranderlijke, als ze een eindig aantal parameters heeft, er hoogstens 3 heeft, dus hoogstens 3-ledig is en dat men door geschikte keuze van de veranderlijke deze groep kan herleiden tot een der projectieve groepen. — Zijn er twee veranderlijken, x en y, dan kan men aan elke combinatie (x, y) een punt van het vlak toevoegen. De transformaties met 2 veranderlijken komen dus overeen met verplaatsingen van punten in ’t vlak.
Een verzameling lijnelementen, waarvan de richtingen p samenvallen met die der raaklijnen, heet elementenbond. Een contacttransformatie zet een elementenbond weer in een elementenbond om. — De theorie der continue groepen is gegrondvest door Lie. Ze is van groot gewicht bij de oplossing der differentiaalvergelijkingen; de oplossingsmethoden van verschillende vergelijkingstypen, die men in den loop der tijden in zekeren zin op goed geluk en zonder onderlingen samenhang had gevonden, komen in verband met de continue transformatiegroepen van Lie onder een hooger gezichtspunt. Ook op tal van andere gebieden der wiskunde kunnen de infinitesimale transformatiegroepen met vrucht toegepast worden, o. a. op de leer der hoogere complexe getallen.
De leer der discrete groepen is voor ’t eerst behandeld door Abel en Cauchy, vervolgens ontwikkeld vooral door Galois; de polyëdergroepen en de oneindige discrete groepen zijn behandeld door Klein (Vorlesungen über das Ikosaëder Vorlesungen über Modulfunktionen, Vorlesungen über automorphen Funktionen, de laatste twee in samenwerking met Fricke); verder door H. A. Schwarz, Fuchs, Brioschi, Gordan. De theorie der continue groepen (van infinitesimale transformaties) is te danken aan Lie en Engel.
Men raadplege voor de eindige substitutiegroepen, behalve leerboeken over Algebra: Netto, Gruppen und Substitutionentheorie (Samml. Schubert 55, 1908); Vivanti, Les fonctions polyédriques et modulaires (Gauthier-Villars, 1910); L. R. Ford, An introduction into the theory of Automorphic functions (London, Bell &. S., 1915); verder de genoemde werken van F. Klein, Ikosaëder, en Klein-Fricke, Modulfunktionen (2 Bd.) en Automorphe Funktionen (2 Bd., Teubner). Voor de continue groepen raadplege men S. Lie-G. Scheffers, Vorlesungen über continuierlichen Gruppen (Teubner, 1893); Campbell, Theory of continuous groups (Clarendon press, 1903).
