Dubbelverhouding - (biquotient, anharmonische verhouding), quotiënt van twee verhoudingen. Zijn a,b,c, d vier getallen, dan heet de uitdrukking de dubbelverhouding dier getallen. Bijv: a = 0,6 = 1 ,c = 2, d = — 1 geeft …. Onderwerpt men alle vier getallen aan dezelfde lineaire substitutie, zoodat a,b,c,d resp.
overgaan in … dan verandert de dubbelverhouding der getallen daardoor niet, d.w.z …. is gelijk aan.
De dubbelverhouding is zoodoende bestand tegen lineaire transformatie. De 24 mogelijke rangschikkingen (permutaties) van a,b,c,d geven aanleiding tot 6 verschillende dubbelverhoudingen, aangezien 4 rangschikkingen telkens dezelfde waarde opleveren bijv: A = (a,b,c,d) = (c, d, a. b) = = (b,a,dc) = (d,c,b,a), d.w.z. …. deze 6 waarden hangen als … samen: …. volgt onderling.
De 6 waarden van de dubbelverhouding van 4 getallen vormen een diëdergroep van de 3e orde (zie GROEPENTHEORIE). Zijn a,b,c,d de abscissen van 4 punten A,B,C,D op een rechte lijn l zoodat A = ….
(waarbij gelet wordt op de opeenvolging, zoodat AB = — BA) en verbindt men A,B,C,D door lijnen met een willekeurig punt P, dan zal een willekeurige snijlijn V de 4 lijnen PA, PB, PC,PD snijden in 4 punten A',B',C,'D' die dezelfde dubbelverhouding hebben, d.w.z. (A',B',C',D — (A,B,C,D). De dubbelverhouding van 4 punten op een rechte lijn is dus bestand tegen projectie. De 4 lijnen PA,PB,PC,PD hebben ook een …. die gelijk is …. of … dan is A = …. dat door bv b3, .. be wèl gesneden wordt, dubbelverhouding, nl. P(A,B,C,D) = sin APD sin CPD' onafhankelijk van de ligging van P. De dubbelverhouding van 4 lijnen door een punt is eveneens bestand tegen projectie. De stelling, dat de dubbelverhouding „invariant is” bij „projectieve transformatie” is de grondslag van de projectieve meetkunde, voorzoover ze met behulp van het getal wordt opgebouwd. De 4 punten behoeven niet op een rechte lijn te liggen, ze kunnen ook liggen op een kromme lijn van het geslacht nul (zie GESLACHT), bijv. op een kegelsnede; de getallen a,b,c,d, die de punten kenmerken, worden dan anders gedefinieerd. Is de dubbelverhouding —1, dan vormen de 4 punten, lijnen, een harmonischen groep; de 6 verschillende waarden van A zijn dan 2 aan 2 gelijk; ze zijn — 1, 2 en is A = — 1, dan is —= —1, 1-A = 2, 2 2 dan vormen de punten, lijnen een zg. a e q u i a nharmonischen groep. De 6 verschillende waarden van A zijn dan 3 aan 3 gelijk, nl.
