een meetkunde die niet is gegrond op het vijfde postulaat uit de Elementen van Eukleides. Uit dit postulaat volgt het zgn. parallellenaxioma: door een punt P dat niet op een lijn l ligt gaat één en niet meer dan één lijn m parallel met l.
Uit dit axioma wordt afgeleid dat in de euclidische meetkunde de som van de hoeken van een driehoek 180° is. De niet-euclidische meetkunde is ontstaan na de mislukking van alle in de loop der eeuwen ondernomen pogingen om het vijfde postulaat van Eukleides uit de eraan voorafgaande te bewijzen. In het begin van de 19e eeuw hebben een aantal wiskundigen ingezien dat de postulaten van Eukleides tot op zekere hoogte willekeurige eigenschappen zijn die worden toegekend aan figuren die gedacht worden te zijn samengesteld uit punten, lijnen en vlakken, begrippen die men slechts kan denken, maar die niet werkelijk bestaan. Men kwam tot de ontdekking dat de postulaten van Eukleides afspraken zijn die door andere kunnen worden vervangen, onder voorwaarde dat die niet in tegenspraak zijn met elkaar. Het onderzoek richtte zich daarbij speciaal op het vijfde postulaat en op de vervanging van het daarmee samenhangende pare parallellenaxioma. Neemt men aan dat door een punt P dat niet op een lijn l ligt, meer dan één lijn gaat die parallel is met l (d.w.z. hoe ver ook verlengd, met l geen punt gemeen heeft), dan leidt zulks tot de hyperbolische meetkunde, die ongeveer gelijktijdig werd ontdekt door N.C.Lobatsjevski (1826) en door J.Bolyai de Bolya (1831).
Vóór hen heeft C.F.Gauss de mogelijkheid van een zodanige meetkunde ingezien; hij heeft hierover wel met tijdgenoten gecorrespondeerd maar zijn onderzoekingen op dit punt niet gepubliceerd. In de hyperbolische meetkunde geldt dat de som van de hoeken van een driehoek kleiner is dan 180°. Een oppervlak waarop deze meetkunde van toepassing is, is de pseudosfeer, waarbij de geodetische lijnen van het oppervlak worden opgevat als rechte lijnen.
Men kan ook aannemen dat door een punt P dat niet op een lijn l ligt geen enkele lijn gaat die parallel is met l. Dit leidt tot de zgn. elliptische meetkunde die is ontdekt door B.Riemann (1854). In deze meetkunde is de som van de hoeken van een driehoek groter dan 180°. Een oppervlak waarop deze meetkunde van toepassing is, is de bol, indien de grote cirkels van de bol worden opgevat als ‘rechte lijnen’. Deze meetkunde die met die van de bol volkomen gelijkluidende stellingen heeft is door F.Klein dubbel-elliptische meetkunde genoemd. Zij heeft de eigenschap dat er puntenparen bestaan die door oneindig veel ‘rechte lijnen’ kunnen worden verbonden; op de bol betreft dit de paren diametraal gelegen punten, die immers verbonden kunnen worden door oneindig veel grote cirkels.
Klein heeft naast deze meetkunde de enkelvoudige elliptische meetkunde opgesteld, waarbij de genoemde puntenparen als één worden beschouwd, zodat nu twee punten in alle gevallen één en niet meer dan één lijn bepalen. Deze meetkunde kan in verband met de bol worden gebracht indien de middellijnen en de middenvlakken van de bol resp. als de ‘punten’ en de ‘rechte lijnen’ worden opgevat. In deze meetkunde op de bol bepalen twee punten (dit kunnen dus niet twee diametrale punten zijn) in alle gevallen één en niet meer dan één ‘rechte lijn’.
In tegenstelling tot de hyperbolische en de elliptische meetkunden wordt de euclidische meetkunde parabolische meetkunde genoemd; zij vormt als het ware een overgang tussen de hyperbolische en de elliptische meetkunde. De namen hyperbolisch, parabolisch en elliptisch voor deze meetkunden berusten op de analogie van de eigenschappen van deze meetkunden ten opzichte van de oneindig verre lijn van het vlak waarin de kromme ligt.
LITT. H.J.E.Beth, Inleiding in de niet-euclidische meetkunde op historischen grondslag (1929); H.Lene, Nichteuklidische Geometrie (1967).
