DIMENSIEANALYSE

betekenis & definitie

het systematisch analyseren van formules en vergelijkingen in de mechanica en fysica met het doel de dimensies te controleren en in het bijzonder de aard en opbouw der constanten te onderzoeken. Dimensieanalyse is oorspronkelijk afkomstig van Lord Rayleigh (1892) en is sindsdien vooral verbeterd door Buckingham, die het zgn. Pi-theorema invoerde.

In dimensioneel homogene vergelijkingen hebben zowel linker- als rechterlid dezelfde dimensie. In bijv. de wet van Pascal p = ϱgh (p is de druk, ϱ de dichtheid, g de versnelling van de zwaartekracht en h de hoogte ten opzichte van een referentievlak) is deze ML⁻¹T⁻². Ook komen vormen voor als y = p + q + r, waarbij de termen y, p,q en r alle dezelfde dimensie hebben.

Anderzijds komen empirische formules voor die niet dimensioneel homogeen zijn zoals de formule van De Chézy v = C√RI (R heeft de dimensie L, I dimensie 1 en v dimensie LT⁻¹). De constante C, het getal van De Chézy, heeft de dimensie L^½ T⁻¹ (bij omzetting in een ander eenhedenstelsel zal de getalwaarde ervan veranderen).

Een probleem dat wordt beschreven door een vergelijking met een bepaald aantal variabelen en enkele constanten en dat men tot een volledige oplossing wil brengen, geeft als hoofdvoorwaarde daarvoor dat de variabelen naar aard en grootte bekend zijn en dat zij een dimensioneel homogene vergelijking vormen.

Voorbeeld 1.

Bij de stroming door buizen wordt uitgegaan van het inzicht dat de grootte van de wrijving τ_w afhangt van de snelheid v, de dichtheid ϱ en de dynamische viscositeit η van de stromende vloeistof, de diameter van de buis D, en de ruwheid k van de wanden. Voorlopig is dit uit te drukken in de dimensioneel homogene functie:

τ_w = ƒ(v, D, ϱ, η, k) = 0 (1)

De vraag of het juist is het probleem slechts van deze grootheden afhankelijk te stellen kan pas door de resultaten van het experiment beantwoord worden. De theorie is aan de beperkte draagwijdte van het denken onderworpen en veelal zal het experiment de noodzaak van correcties aantonen, die in de richting van een nieuwe grootheid wijzen.

Relatie (1) kan door middel van reeksontwikkeling ook worden geschreven als:

τ_w = Cv^aD^bϱ^cη^dk^e (2)

zonder afzonderlijke termen. C stelt een constante met dimensie 1 voor. Omgezet in een dimensieformule verkrijgt men:

M/LT² = (L/T)^a L^b(M/L³)^c (M/LT)^d L^e

Nu moet de som van de exponenten van M, L en T in het rechterlid gelijk zijn aan die van het linkerlid; dit leidt tot drie vergelijkingen met totaal vijf onbekenden:

voor L: −1 = a + b − 3c − d + e

voor T: −2 = −a − d

voor M: 1 = c + d

Oplossing geeft:

a = 2 − d, b = −d − e en c = 1 − d

Substitueert men deze waarden in (2), dan verkrijgt men:

τ_w = Cv^2−dD^−d−e ϱ^1−dη^dk^e

en na geschikte combinatie van de termen:

τ_w = C(vDϱ/η)^-d (k/D)^e ϱv² (3)

Hierin stelt vdϱ/η het getal van Reynolds Re voor (zie Modeltheorie) en k/d de relatieve wandruwheid. Zo is zonder enige voorkennis van het experiment aangetoond dat de wrijving langs de wand afhankelijk is van deze beide verhoudingsgetallen:

τ_w/ϱv² = ƒ(Re, k/D) (4)

Ter controle wordt het Pi-theorema van Buckingham toegepast op dit voorbeeld. Het aantal variabele grootheden n = 6, nl.:

τ_w, η, v, D, ϱ en k; het aantal basisdimensies m = 3,nl.: L, T en M.

Aldus zullen n − m = 3 onafhankelijke vormen 𝜋 optreden, en kan men (4) ook als volgt opstellen:

Φ(τ_w/v²,Re, k/D) = 0

en dit is inderdaad een formule van drie vormen met dimensie 1, bestaande uit maximaal m + 1 = 4 grootheden.

Voorbeeld 2.

Voor de berekening van de sleepkracht van een schip (zie Modeltheorie) wordt de functie opgesteld:

S = ƒ(l, ϱ, η, v, g)

waarin l de lengtemaat is, v de snelheid van het schip, g de versnelling van de zwaartekracht; ϱ en η hebben betrekking op het water waarin het schip voortbeweegt. Hier wordt de dimensieformule:

ML/T² = L^a(M/L³)^b (M/LT)^c(L/T)^d (L/T²)e

Ook hier treden drie vergelijkingen met vijf onbekenden op:

voor L: 1 = a − 3b − c + d + e

voor T: −2 = −c − d − 2e

voor M: 1 = b + c

Hieruit volgt:

b = 1 − c, d = 2 − c − 2e

en

a = 2 + e − c

zodat:

S = Cl^2+e−c ϱ^1−c η^cv^2−c−2eg^e

= C(v²/gl)^−e (vlϱ/η)^−c ϱv²l²

en daar v²/gl het getal van Froude Fr (zie Modeltheorie) voorstelt:

S/ϱv² = ƒ(Fr, Re)

De sleepkracht van een schip, d.w.z. de dynamische gelijkvormigheid is dus afhankelijk van de getallen van Froude en Reynolds.

Resumé.

Uit het voorgaande blijkt dat bij problemen in de mechanica slechts drie vergelijkingen kunnen worden opgesteld, ingevolge de drie gronddimensies M, L en T. In de fysica onderkent men zes of (sinds 1971) zeven gronddimensies (zie Dimensie); zo wordt de warmteoverdracht door convectie beschreven door een relatie waarin er vijf optreden.