een vrij abstract gedeelte van de mathematische analyse; een der belangrijkste takken daarvan die tot de zuivere wiskunde wordt gerekend.
Zij is voortgekomen uit probleemstellingen der klassieke analyse en der theoretische fysica, bijv. de theorie der integraalvergelijkingen en de quantummechanica. Zij heeft een overkoepelende strekking. Vele problemen uit verschillende disciplines, zowel binnen als buiten de wiskunde, kunnen met behulp van functionaalanalyse behandeld worden. De verkregen uitspraken zijn meestal van kwalitatieve aard.In de klassieke analyse bestudeert men overwegend functies van één of verscheidene veranderlijken, die als waarden reële of complexe getallen aannemen, dus reëelwaardige of complexwaardige functies, die
gedefinieerd zijn op deelverzamelingen van de reële rechte, het complexe vlak of een meerdimensionale euclidische ruimte. Anders gezegd: afbeeldingen van deelverzamelingen van de reële rechte, het complexe vlak of een meerdimensionale ruimte naar de reële of complexe getallen.
In de functionaalanalyse werkt men op een hoger niveau: men beschouwt weer afbeeldingen, maar het definitiegebied van een afbeelding bestaat nu uit een klasse van functies in klassieke zin. Voor de verzameling waarin men afbeeldt neemt men de verzameling der reële of complexe getallen of algemener weer een klasse van functies in klassieke zin. In het geval dat de verzameling waarin men afbeeldt de verzameling der reële of complexe getallen is, noemt men de afbeelding een functionaal; in het andere geval een operator.
De klassen van functies die beschouwd worden vormen over het algemeen een lineaire ruimte, zodat van lineaire functionalen en van lineaire operatoren gesproken kan worden. Bovendien voorziet men de beschouwde klassen van functies van een afstand, vaak door middel van een norm, hetgeen een generalisatie van het begrip lengte uit de meetkunde is. De invoering van een afstand maakt het mogelijk te spreken over de continuïteit der functionalen en operatoren.
De toepassingen buiten beschouwing gelaten, kan gezegd worden dat men zich in de functionaalanalyse bezig houdt met de bestudering van:
1. de functieruimten die als definitiegebied optreden;
2. de afbeeldingen (operatoren) tussen de functieruimten.
Bij de bestudering van het eerstgenoemde komen metrische ruimten en genormeerd lineaire ruimten aan de orde; de klasse der genormeerd lineaire ruimten omvat o.a. de banachruimten, de inwendig-produktruimten en de hilbertruimten als speciale gevallen. Het laatstgenoemde staat bekend als operatortheorie met als belangrijkste tak de spectraaltheorie, die een generalisatie is van eigenwaardeproblemen en het op hoofdassen brengen van lineaire transformaties uit de lineaire algebra.
Een nog niet genoemde tak van de functionaalanalyse is de distributietheorie. Deze onderscheidt zich van het eerder behandelde doordat de ruimten waarin gewerkt wordt, algemener zijn (topologische vectorruimten). De distributietheorie fungeert als basis voor de moderne theorie der lineaire partiële differentiaalvergelijkingen.