de omkeerfunctie van de logaritmische functie. Aangezien de laatstgenoemde functie gedefinieerd is voor alle x > 0, monotoon stijgt en differentieerbaar is, met als waardenverzameling de verzameling van alle reële getallen, is zijn omkeerfunctie, de exponentiële functie, genoteerd als ex of exp x, een voor alle reële x gedefinieerde, monotoon stijgende, differentieerbare functie met de verzameling van alle positieve getallen als waardenverzameling (zie afb).
De eigenschappen van de functie x ↦ exp x worden afgeleid uit die van de functie x ↦ ln x. Van deze eigenschappen worden genoemd de zgn. functionaalvergelijking:
exey = ex + y
en de fundamentele eigenschap:
dex/dx = ex
Op grond van deze laatste eigenschap noemt men de exponentiële functie ook wel de groeifunctie. Bij vele processen in de natuur is nl. de (momentane) groei van een grootheid recht evenredig met de waarde A(t) die deze grootheid bezit ten tijde t, d.w.z. A(t) voldoet aan:
dA/dt = κA(t)
en dus geldt:
A(t) = A0eκt
De reeksontwikkeling van ex luidt aldus:
ex = ∑∞n=0 (xn/n!) = 1 + (x/1!) + (x2/2!) + (x3/3!) + …
Naast deze exponentiële functie definieert men bij vaste a > 0 ook nog voor alle reële x de algemene exponentiële functie x ↦ ax door:
ax = exp (x ln a) = ex ln a
x heet dan de exponent van a.
Voor rationale x(x = p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ) blijkt dan dat ax overeenstemt met de ‘elementaire’ ap/q gedefinieerd door q√ap , d.w.z. de algemene exponentiële functie zet de ‘gebroken’ machten voort over de gehele reële as. Op grond van het feit dat dan geldt e1 = exp 1 schrijft men exp. x als ex.
Voor niet reële z met z = x + iy (x,y reëel) definieert men ez = ex(cos y + i sin y), waarbij de definitie van ez voor niet reële z herleid is tot de reeds eerder gedefinieerde (reële) ex, sin y en cos y. Daaruit definieert men tenslotte voor niet reële z als volgt sin z en cos z:
sin z = (eiz − e−iz)/2i
cos z = (eiz + e−iz)/2