(Fr.: complexe; Du.: komplex; Eng.: complex), in het algemeen: samengesteld, uit ongelijksoortige of ongelijkwaardige delen of factoren bestaand.
In de chemie is een complex of coördinatieverbinding een groep moleculen of ionen bestaande uit een centraal atoom of kernatoom (bij veelkernige complexen meer dan één), omringd door liganden (moleculen, radicalen en/of ionen). Een complex kan een elektrisch neutraal molecule zijn of een (positief of negatief) geladen ion (complex kation, resp. anion). Van de complexe verbindingen zijn vooral bekend de complexe zouten, d.w.z. zouten die zich gedragen als een verbinding van twee andere zouten (in tegenstelling tot dubbelzouten die in oplossing de eigenschappen van de samenstellende zouten behouden). In de wiskunde kent men complexe getallen en complexe functies.
Complexe getallen kunnen gedefinieerd worden als geordende paren (a, b) van reële getallen a en b. Ieder complex getal is te schrijven als: (a, b) = (a, 0) + (b, 0) ⋅ (0, 1), waarin het complexe getal (0,1) de imaginaire eenheid wordt genoemd. In plaats van (0, 1) schrijft men meestal i (in de elektrotechniek ook j); met (a, 0) genoteerd als a krijgen de complexe getallen de vorm: a + bi.
Er geldt dat (0, 1) ⋅ (0, 1) = (−1, 0), dus i2 = −1 en i = √i2 =√−1, vandaar de naam imaginaire eenheid.
De voorstelling van de complexe getallen als paren (a, b) geeft de mogelijkheid deze getallen op te vatten als punten van een vlak. De optelling van de complexe getallen correspondeert met de vectoroptelling in het vlak. De vermenigvuldiging met een reëel getal is de gewone meetkundige vermenigvuldiging; de vermenigvuldiging met i wordt weergegeven door een draaiing om het punt O over 90° in de richting tegen de wijzers van de klok in (afb. 1). Door combinatie kan men een meetkundige interpretatie van het produkt van twee complexe getallen z en w verkrijgen (afb. 2): de driehoek Olz en Owu, met u = zw, zijn gelijkvormig.
De complexe getallen kunnen (met poolcoördinaten) ook geschreven worden in de vorm: a + bi = r(cos φ + i sin φ). Laat w = s(cos 𝜓 + i sin 𝜓), dan kan men met de regels van de goniometrie direct controleren, en ook uit de meetkundige interpretatie van de vermenigvuldiging zien dat geldt:
zw = rs cos(φ + 𝜓) + i sin(φ + 𝜓).
De punten in het vlak, dus de complexe getallen, worden eenduidig vastgelegd door hun afstand tot O, de modulus of absolute waarde van het complexe getal z genoemd (aangegeven met |z|), en de hoek die de voerstraal met de x-as maakt die argument genoemd wordt en meestal zo gekozen wordt dat
− 𝜋 < φ ≦ 𝜋.
Als z = a + bi, dan geldt |z| = √a2 + b2 en tan φ = b/a.
Zoals reeds vermeld is de absolute waarde van een produkt het produkt van de absolute waarden en het argument van een produkt (op een veelvoud van 2𝜋 na) de som van de argumenten van de factoren.
De formule van de Moivre: (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ, is een gevolg van de hiervoor gegeven vermenigvuldigingsregels.
Complexe functie.
Zij G een verzameling van complexe getallen. Wanneer ƒ een voorschrift is dat aan elke z ∈ G op eenduidige wijze een complex getal ƒ(z) toevoegt, voor te stellen door w, dan noemt men ƒ een op G gedefinieerde complexe functie; G heet de definitieverzameling of het domein. De verzameling van de aldus bepaalde getallen ƒ(z) heet de waardenverzameling van de functie ƒ.
Stelt men z = x + iy met x en y reëel, dan kan men schrijven:
ƒ(z) = u(x, y) + iv(x, y) met u(x, y) en v(x, y) reëel.
Elke complexe functie ƒ leidt dus tot twee reële functies u en v van de twee reële variabelen x en y. Bijv.:
als ƒ(z) = z2 (voor G kan men het gehele vlak nemen) dan geldt:
ƒ(z) = x2 − y2 + 2ixy zodat u(x, y) = x2 − y2 en v(x, y) = 2xy.
De waardenverzameling van ƒ is het gehele w-vlak.