BOOGLENGTE

betekenis & definitie

van een boog, in een euclidische k-dimensionale ruimte gedefinieerd door middel van verdelingen:

a = t₀ < t₁ < t₂ < ...< t_n = b

van het afgebeelde gesloten interval a ≦ t ≦ b.

Laat A_i het beeldpunt zijn van t_ien λ_n de som van de lengten van de lijnstukken A_i−1A_i (i = 1, 2, ..., n). De kleinste bovengrens (supremum) van de sommen voor alle verdelingen heet dan de lengte. Een bijzonder geval ontstaat als een boog geparametriseerd wordt door functies x_j , (j = 1, 2, ..., k) die een continue afgeleide hebben; de lengte is dan gelijk aan:

∫_a^b [(x₁′(t))² + (x₂′(t))² + … + (x_k′(t))²]^½ dt