(Fr.: méthode axiomatique; Du.: axiomatische Methode, axiomatisches Verfahren; Eng. axiomatic ( al) method), een in de wiskunde en logica gebruikte, doch steeds vaker ook in gebieden als fysica, biologie en sociale wetenschappen toegepaste methode om bepaalde, al dan niet aan de ervaring ontleende, begrippen te analyseren.
Men tracht daartoe een aantal eigenschappen te vinden waarvan men vermoedt, dat zij voor het bedoelde begrip kenmerkend zijn. Onderzocht wordt of deze eigenschappen geen logische tegenstrijdigheid insluiten (consistent zijn). Vervolgens definieert men een nieuw begrip door te eisen, dat dit de kenmerkende eigenschappen, thans axioma’s, zal bezitten, voorlopig in het midden latend of het al dan niet met het oorspronkelijk bedoelde overeenstemt. Van dit nieuwe begrip worden door strikt logische redenering verdere eigenschappen gezocht en men gaat na of deze ook alle aan het oorspronkelijk bedoelde begrip toekomen, en zo ja, of men zo alle bekende eigenschappen van het bedoelde begrip kan afleiden. Is de eerste voorwaarde niet vervuld, dan bevat het axiomastelsel eigenschappen die aan het bedoelde begrip niet of niet algemeen toekomen; men zal dan één of meer axioma’s weglaten of door minder veeleisende vervangen. Is de tweede voorwaarde niet vervuld, dan is het axiomastelsel (met betrekking tot het bedoelde begrip) onvolledig. Men zal dan verdere axioma’s toevoegen, totdat men een volledig axiomastelsel verkregen heeft.Een axiomastelsel heet afhankelijk als een der axioma’s uit de overige afgeleid kan worden. Voor theoretische beschouwingen kiest men zo mogelijk een onafhankelijk stelsel. De onafhankelijkheid van een axioma van de overige wordt vastgesteld door te bewijzen dat het stelsel, verkregen door het bedoelde axioma door zijn ontkenning te vervangen, consistent is. In de praktijk is het vaak gemakkelijk een afhankelijk stelsel te gebruiken.
De bovengeschetste procedure wordt gevolgd in het grootste deel van de hedendaagse wiskunde. De logicus gaat bij de opbouw van een axiomatische theorie als volgt te werk: hij gaat uit van de (geaxiomatiseerde) predikatenlogica en vult de symbolenvoorraad aan met eventuele constanten en predikaten. Bovendien neemt hij nieuwe axioma’s op, die behoren tot het te formaliseren gebied. Als voorbeeld moge dienen de theorie van de ordening. De symbolenvoorraad wordt uitgebreid met het predikaat P(x,y) (te interpreteren als x < y). Vervolgens worden als axioma’s toegevoegd (tevens zie Algebraïsche logica):
(∀x) (¬P(x,x))
(∀x) (∀y) (∀z)(P(x,y) ∧ P(y,z) → P(x,z))
(∀x) (∀y) (P(x,y) ∨ P(y, x) ∨ x = y)
Met behulp van de logica kan men nu stellingen bewijzen (bijv. P(x,y) → ¬P(y,x)). Men kan nagaan of dit axiomastelsel de bovengenoemde eigenschappen heeft met behulp van redeneringen die gebruikelijk zijn in de modeltheorie. Het axiomastelsel is consistent, omdat men een concreet voorbeeld kan geven van een verzameling die aan de axioma’s voldoet, bijv. de verzameling bestaande uit 1 en 2 (met 1 < 2). Het axiomastelsel is niet volledig; men kan nl. een stelling S vinden, zo dat S noch ¬ S bewezen kan worden. Voorbeeld: S is de uitspraak (∀x) (∀y) (P(x,y)). S is niet afleidbaar, omdat de verzameling die alleen bestaat uit 1 aan de axioma’s voldoet, doch S in deze verzameling niet geldt. Evenmin is ¬ S afleidbaar, omdat de axioma’s gelden voor de verzameling bestaande uit 1 en 2, maar geldt ¬ S niet in deze verzameling. Tenslotte kan men de onafhankelijkheid aantonen. Als voorbeeld wordt het eerste axioma door zijn tegendeel vervangen:
¬(∀x) ¬ P(x, x) ofwel (∃x) (P(x, x)
Het nu verkregen axiomastelsel is consistent, hetgeen men inziet door een willekeurige verzameling te nemen en P(x, y) te interpreteren als x = y. Aan alle axioma’s blijkt voldaan te zijn.