de cirkel beschreven door een punt P zodanig, dat de verhouding der afstanden PA en PB van P tot twee vaste punten A en B een constante waarde k heeft. Voor k = 1 ontaardt de cirkel in de middelloodlijn van AB. De cirkels van Apollonius voor een driehoek ABC zijn resp. de cirkels behorende bij AB, gaande door C, behorende bij BC, gaande door A en behorende bij CA, gaande door B. Is de driehoek ongelijkzijdig, dan gaan deze cirkels door twee punten, de zgn. isodynamische centra van de driehoek. Zij snijden de omgeschreven cirkel loodrecht.
Hyperbool van Apollonius.
De vier voetpunten van de normalen door een punt P = (a, b) op de ellips of hyperbool Ax2 + By2 = 1 neergelaten, liggen op een orthogonale hyperbool (A − B)xy − bAx + aBy = 0, die door het middelpunt O van de gegeven kegelsnede gaat en door P, terwijl de asymptoten parallel zijn met de hoofdassen van de kegelsnede.
Raakprobleem van Apollonius.
Gegeven drie elementen, waarvan elk een punt, een lijn of cirkel kan zijn. Het probleem is een cirkel te construeren die de drie elementen raakt (in het geval van een punt: door het punt gaat).
Stellingen van Apollonius hebben betrekking op bepaalde omgeschreven parallellogrammen van een ellips en een hyperbool. Onder een omgeschreven parallellogram van een ellips willen wij verstaan een parallellogram, waarvan de zijden aan de ellips raken met dien verstande dat de verbindingslijn van de raakpunten van twee overstaande zijden parallel is aan de beide andere zijden, De eigenschap is dan ook geldig als wij de paren zijden verwisselen. Onder een omgeschreven parallellogram van een hyperbool verstaan wij een parallellogram, waarvan twee zijden aan de hyperbool raken, terwijl de hoekpunten op de asymptoten liggen.
De stellingen van Apollonius voor dergelijke parallellogrammen luiden als volgt:
1. de som (bij de ellips) resp. het verschil (bij de hyperbool) der kwadraten van de lengten der zijden van een omgeschreven parallellogram is constant, d.w.z. dezelfde voor alle omgeschreven parallellogrammen;
2. de oppervlakte van een omgeschreven parallellogram is constant.