(Fr.: algèbre; Du.: Algebra, m.v. Algebren; Eng.: algebra), deel van de wiskunde waarvan het onmogelijk is precies de begrenzing aan te geven ten opzichte van bijv. meetkunde; de tijd waarin men vrij scherp de gebieden algebra en meetkunde van elkaar onderscheidde is voorbij. Tot in de vorige eeuw was algebra het vak, waarin men zich in hoofdzaak bezighield met formules, waarin letters de plaats van getallen innamen en waarin het oplossen van vergelijkingen een grote rol speelde.
Meetkunde omvatte de bestudering van de eigenschappen van figuren in de voor ons aanschouwelijke wereld. In een later stadium deden meer denkbeeldige ruimten die zich aan onze directe waarneming onttrekken hun intrede. Men sprak van hoger (dan 3)-dimensionale ruimten en niet-euclidische meetkunde.
Inmiddels begon men oog te krijgen voor het feit dat bewerkingen als optellen en vermenigvuldigen niet alleen op het gebied van de algebra maar ook op het terrein van de meetkunde een rol spelen. Het inzicht brak door dat de aard van de bewerkingen essentiëler is dan de aard van de objecten waarop ze worden toegepast. Men ontdekte dat genoemde bewerkingen aan bepaalde gemeenschappelijke basiswetten voldoen. De belangstelling begon zich te richten op structuren, waarachter zich wiskundige verschijnselen van uiteenlopende aard verbergen.
Hieruit ontwikkelde zich het vak ‘moderne algebra’, waarvan het werk van B. L. van der Waerden omstreeks 1930 (overigens in de voetsporen van illustere voorgangers, zoals E. Artin en E. Noether) de eerste duidelijke neerslag vormt. Inmiddels is het adjectief ‘modern’ geruisloos verdwenen. De studie van structuren, hierna nader toegelicht, is de eigenlijke inhoud van het vak algebra geworden. Deze vorm van wiskundebeoefening heeft het grote voordeel dat vele, vroeger tot verschillende afdelingen behorende, problemen onder één noemer worden gebracht. Niet alleen puur-mathematische, maar ook diverse fysische, biologische, economische en technische vraagstukken blijken vaak te passen in een bredere algebraïsche context.
Eerste kennismaking.
Uitgangspunt voor alle wiskundige beschouwingen is het begrip verzameling. Men had dit begrip uiteraard reeds lang intuïtief gebruikt; het was G. Cantor, die omstreeks het jaar 1880 inzag dat een nauwkeuriger behandeling van deze materie zeer verhelderend werkte, met name voor een betere begripsvorming ten aanzien van het oude strijdpunt: ‘Wat is oneindig?’ Uit een en ander is een complete ‘theorie der verzamelingen’ gegroeid. Een standaardwerk op dit gebied is het werk van A. Fraenkel: Einführung in die Mengenlehre.
Het maakt geen verschil uit of men van een verzameling getallen of van een verzameling wilde olifanten spreekt. Het structureren van een verzameling, zodanig dat reeds bekende wiskundige bouwsels als bijzondere gevallen hierin opgesloten zitten, is het hoofddoel van de beoefening van de algebra. De oorspronkelijke betekenis van het woord, een verbastering van het Arabische woord ‘al-jabr’ dat ‘herstel’ en ‘vereenvoudiging’ betekent, dekt nog maar zeer ten dele de inhoud. De bedoelde Arabische uitdrukking omschreef het verschijnsel dat men beide leden van een vergelijking met een zelfde grootheid mocht vermeerderen of verminderen.
Een voorbeeld waaruit blijkt hoe men tot de gedachte van het structureren van verzamelingen werd gebracht, is het volgende. Beschouw enerzijds de verzameling van de (bijv. reële) getallen en anderzijds de verzameling van de vectoren in de (3-dimensionale) ruimte. In beide systemen kan men spreken van de som en van het produkt van twee van de elementen. (Met het produkt van twee vectoren wordt hier het uitwendige produkt bedoeld.) Opvallend is dat verscheidene eigenschappen in beide systemen geldig zijn:
de commutatieve wet van de optelling:
a + b = b + a
de associatieve wet van de optelling:
(a + b) + c = a + (b + c) de distributieve wetten:
a(b + c) = ab + ac en
(a + b)c = ac + bc
en vele andere wetten. Maar er zijn ook verschillen aan te wijzen. In de getalverzameling geldt ab = ba en in de vectorverzameling ab = −ba; in de eerste verzameling geldt (ab)c = a(bc), maar in de tweede is dit niet algemeen het geval. Wel geldt de zwakkere wet:
(ab)c + (bc)a + (ca)b = 0
Het is zinvol een structuur op te sporen, waarin het getal- en het vectorsysteem en wellicht nog andere systemen als bijzondere gevallen vervat zijn. De zgn. ringstructuur (zie hierna) blijkt daarvoor geschikt te zijn.
Nadere toelichting.
Een verzameling is de totaliteit van bepaalde verschillende objecten. We duiden een verzameling aan d.m.v. een hoofdletter, en een object, ook element genoemd, d.m.v. een kleine letter: a is element van A, hetgeen genoteerd wordt als: a ∈ A; a ∉ A wil zeggen: a is niet element van A.
Enkele andere veel gebruikte symbolen zijn:
∃: er bestaat (bestaan)
∀: (voor) alle
⇒: daaruit volgt
⇔: is gelijkwaardig met
{x|..}: de verzameling van alle elementen x, waarvoor geldt …..
A ⊂ B, in woorden: A is deelverzameling van B, d.w.z.
(x ∈ A ⇒ (x ∈ B)
A = B, d.w.z.
A ⊂ B en B ⊂ A
A ⋂ B, in woorden: de doorsnede van A en B, d.w.z.
{x|x ∈ A én x ∈ B}
A ⋃ B, in woorden: de vereniging van A en B, d.w.z.
{x|x ∈ A en/of x ∈ B}
A\B, in woorden: het verschil van A en B, d.w.z.
{x|x ∈ A en x ∉ B}
A × B, in woorden: het cartesiaans produkt van A en B, d.w.z.
{(a,b)|a ∈ A en b ∈ B}
Een op het eerste gezicht merkwaardige afspraak is dat men plaats inruimt voor de lege verzameling ∅, de verzameling die geen enkel element bevat. Men poneert dat ∅ deelverzameling is van elke verzameling. Enkele eigenschappen:
A ⋃ B = B ⋃ A, A ⋂ B = B ⋂ A
A ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C
A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C
A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
Schrijven we AB i.p.v. A ⋂ B en A + B i.p.v. (A ⋃ B)\(A ⋂ B), dan is A(B + C) = AB + AC (zie hierna: boole-ring: tevens zie Algebraïsche logica).
Dikwijls is het wenselijk verschillende verzamelingen met elkaar in verband te brengen. Men spreekt van een afbeelding f van een verzameling A in een verzameling B, als aan ieder element x van A op ondubbelzinnige wijze een element y van B is toegewezen (of zoals men doorgaans zegt: ‘is toegevoegd’). Notatie:
f: A → B en y = f(x).
y wordt het beeld van x genoemd onder de afbeelding ƒ; x heet een origineel van y onder dezelfde afbeelding. (Let op het gebruik van de lidwoorden!)
ƒ: A → B heet een afbeelding van A op B, als elk element van B minstens eenmaal als beeld optreedt. Geldt bovendien dat elk element y in B slechts één origineel x in A heeft, dan bestaat er een afbeelding g: B → A met g(y) = x, de zgn. inverse afbeelding van f, ook wel genoteerd als ƒ−1. f (en dus ook ƒ−1) wordt in dit geval een éénduidige (1 − 1)-afbeelding van A op B (resp. van B op A) genoemd.
Structuren.
V is een gegeven verzameling. De afbeelding f: V × V × V × ...× V → V, waarin het cartesiaans produkt uit n componenten bestaat, heet een n-aire operatie op V. De verzameling V heet gestructureerd, als V is toegerust met een aantal van deze operaties.
Als n = 2 is, spreekt men van een binaire operatie. Is V de verzameling van de natuurlijke getallen (d.w.z. de getallen 1, 2, 3, 4, ...), dan is de bekende optelling een voorbeeld van zo’n operatie: aan elk getallenpaar (a, b) is op ondubbelzinnige wijze een getal toegevoegd, nl. a + b. Andere voorbeelden van binaire operaties in deze verzameling zijn de gebruikelijke vermenigvuldiging, de machtsverheffing, de afbeelding ƒ: V → V met f(a, b) = a + b2, enz. Merk op dat de optellings- en de vermenigvuldigingsoperatie zowel commutatief als associatief zijn, maar dat de beide andere genoemde voorbeelden noch commutatief noch associatief zijn.
In het volgende geven we een beknopt overzicht van de belangrijkste typen van verzamelingen met binaire operaties. Ter bevordering van de overzichtelijkheid voeren we een gemakkelijke schrijfwijze in. Is er sprake van één operatie ƒ dan schrijven we i.p.v. f(a, b) naar gelang van de omstandigheden ab of a ⋅ b of ook a + b, d.w.z. we nemen onze toevlucht tot notaties, die uit de rekentechnieken bekend zijn. We gebruiken in deze gevallen ook bekende termen als vermenigvuldiging, optelling, produkt, som enz., maar we dienen ons wel te realiseren dat we hieraan geen ontoelaatbare conclusies mogen verbinden; de woorden en symbolen worden slechts ‘geleend’.
1. Een verzameling met één binaire operatie heet een groepoïde.
Is V een groepoïde en zijn er bij elk tweetal elementen a en b van V elementen c en d in V, zodanig dat ac = b en da = b, dan heet V een quasi-groep.
Is V een groepoïde met een associatieve operatie, dan heet V een halfgroep.
Is V een quasi-groep met een associatieve operatie, dan heet V een groep. Men kan bewijzen, dat hierin een zgn. eenheidselement aanwezig is, dat is een element e ∈ V met de eigenschap ea = ae = a voor alle a ∈ V. Is de operatie commutatief, dan wordt V een abelse groep genoemd.
Voorbeelden.
Is V de verzameling van de natuurlijke getallen, en de operatie ƒ gegeven door a . b = ab, dan is V een groepoïde, echter geen quasi-groep, halfgroep of groep.
Is V de verzameling van de natuurlijke getallen, en de operatie de bekende vermenigvuldiging, dan is V een halfgroep (dus ook een groepoïde), maar geen quasi-groep of groep.
Is V een verzameling, bestaande uit drie elementen, die we a, b en c noemen en is de operatie in V bepaald door
a2 = a, ab = ba = c, b2 = b, bc = cb = a, c2 = c, ca = ac = b,
dan is V een quasi-groep (dus ook een groepoïde), maar geen halfgroep of groep; immers: (ab)c = c2 = c en a(bc) a2 = a.
Is V de verzameling van de gehele getallen (d.w.z. de getallen 0, 1, −1, 2, −2, ...), en de operatie de bekende optelling, dan is V een abelse groep.
2. In het volgende stelt V een verzameling met twee binaire operaties voor, die we resp. optelling en vermenigvuldiging zullen noemen. Hebben we slechts belangstelling voor V voorzien van de optellingsoperatie, dan noteren we V(+), analoog V(⋅) indien het alleen om de vermenigvuldiging gaat. Zowel V(+) als V(⋅) is een groepoïde.
Is V(+) een abelse groep, V(⋅) een groepoïde en gelden de distributieve wetten:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc voor alle a, b en c van V, dan heet V een ring.
Is V(+) een abelse groep, V(⋅) een halfgroep en gelden de distributieve wetten, dan heet V een associatieve ring.
Is in beide gevallen bovendien de vermenigvuldigingsoperatie commutatief, dan heet V een commutatieve, resp. een commutatieve associatieve ring.
[De hierboven gebruikte terminologie heeft nog lang niet algemeen ingang gevonden. In vrijwel alle leerboeken, tot nu toe verschenen, wordt met een ring stilzwijgend een associatieve ring bedoeld. Pas in de allerlaatste tijd dringt in sommige publikaties de gewoonte door om die ringen die tot voor kort niet noodzakelijk associatieve (Eng.: non associative) ringen werden genoemd, aan te duiden met de algemene naam: ringen. Gezien het feit dat hoe langer hoe meer blijkt dat de zgn. niet-associatieve ringen lang niet zo exclusief zijn als men lange tijd meende, vooral nu ze in menig ‘natuurlijk’ proces binnen het raam van de fysica en biologie een rol beginnen te spelen, lijkt de verwachting gewettigd dat de terminologie, hiervoor gebezigd, eerlang de gangbare zal worden.]
V(+) als abelse groep bevat een eenheidselement, dat doorgaans wordt aangeduid met het symbool 0 (nul).
Is (V\{0})(⋅) een quasi-groep en gelden de distributieve wetten, dan heet V een delingsring (Eng.: division-ring).
Is (V\{0})(⋅) een groep en gelden de distributieve wetten, dan heet V een scheef lichaam.
Is (V\{0})(⋅) een abelse groep en gelden de distributieve wetten, dan heet V een lichaam.
[Ook hier moet worden opgemerkt, dat de terminologie van de allerlaatste tijd dateert. In de meeste boeken worden de termen ‘delingsring’ en ‘scheef lichaam’ nog door elkaar gebruikt, omdat men automatisch een associatieve vermenigvuldiging vooronderstelt.]
Voorbeelden.
De verzameling van de gehele getallen is t.a.v. de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging een commutatieve associatieve ring.
De verzameling van de reële getallen (voor een juiste definitie hiervan, zie Mathematische analyse) is ten aanzien van de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging een lichaam.
De verzameling van alle vectoren in de (3-dimensionale) ruimte is ten aanzien van de vectoroptelling en vectorvermenigvuldiging (zie hiervoor) een ring. In plaats van de commutatieve en associatieve wet van de vermenigvuldiging geldt hier:
ab = −ba
en
(ab)c + (bc)a + (ca)b = 0
Een ring met deze eigenschap heet een liering.
Zoals in de inleiding werd opgemerkt, is de bestudering van structuren de eigenlijke inhoud van wat men algebra pleegt te noemen. Toch mag niet onvermeld blijven, dat binnen het vak algebra de gewoonte is ontstaan om een structuur als zodanig met het woord ‘algebra’ aan te duiden. Zeer in het bijzonder dragen bepaalde ringstructuren deze naam. Kort gezegd: Een ring R, waarvoor geldt dat R(+) een vectorruimte is over een gegeven lichaam (zie Lineaire algebra), wordt een algebra van rang n genoemd, als de dimensie van de bedoelde vectorruimte n is.
Het lichaam van de complexe getallen bijv. is een associatieve en commutatieve algebra van rang twee over het lichaam van de reële getallen met basiselementen 1 en i, waarin i2 = −1 is.
De zgn. quaternionenalgebra is een interessant voorbeeld van een scheef lichaam. Dit is een associatieve algebra van rang vier over het lichaam der reële getallen met basiselementen 1, i, j en k, waarbij geldt: i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, 1λ = λ1 voor λ = i, j, k.
Het was Hamilton die met het ontdekken van deze algebra in 1843 aantoonde dat niet alle getalsystemen commutatief behoeven te zijn. Dat hij tegelijkertijd hiermee een machtig stuk wiskundig gereedschap creëerde, waarvan het nageslacht met name op het terrein van de quantummechanica en de speciale relativiteitstheorie zou profiteren, kon hij op dat moment nog niet weten.
Een voorbeeld van een delingsalgebra is de algebra van Cayley-Dickson, een algebra van rang acht over het lichaam van de reële getallen. Hierin is niet alleen de commutatieve maar ook de associatieve wet niet langer van kracht. In plaats van de associatieve geldt nu de (zwakkere) alternatieve wet voor de vermenigvuldiging: (aa)b = a(ab) en (ab)b = a(bb). Deze algebra is verwant met lie- en jordanringen, welke op hun beurt samenhangen met fysische problemen. Het was nl. een fysicus, P. Jordan, die in de jaren dertig het formalisme van de quantummechanica trachtte te generaliseren en daartoe een algebra ontwierp, die onder de naam jordanalgebra een eigen leven is gaan leiden. Het typerende hiervan is dat de commutatieve wet wel geldt (hoewel er inmiddels ook niet-commutatieve generalisaties van het originele type zijn opgedoken), maar dat in plaats van de associatieve wet de zwakkere eis (ab)a2 = a(ba2) geldt.
Ook op het gebied van de genetica werd men met algebra’s geconfronteerd. Stellen nl. A en B twee genetische types voor, dan kan men door de uitdrukking
AB = ½(A + B) aangeven dat de kans op een nakomeling van type A zowel als de kans op een nakomeling van het type B 50% bedraagt. Dit leidt mathematisch gesproken tot de bestudering van een algebra van rang twee met basiselementen A en B en de vermenigvuldiging:
A2 = A, B2 = B, AB = BA = ½(A + B). De aldus gevormde algebra, genetische algebra genoemd, is wel commutatief maar niet associatief. Merkwaardig is, dat de duplicatie van een genetische algebra (de constructie hiervan kan in dit bestek niet worden weergegeven) weer een genetische algebra is, die een typische genetische interpretatie toelaat.
Besluit.
Aangezien het volstrekt onmogelijk is alle aspecten van de algebra in een notedop samen te vatten, vermelden we tot slot enkele wetenswaardigheden.
De groepentheorie, een zeer omvangrijk deelgebied van de algebra, vindt toepassing in vrijwel alle sectoren van de natuurwetenschappen.
Begrippen als homomorfie, isomorfie, automorfie enz. zijn van essentieel belang in de studie der structuren. Ze zijn de aanzet geworden tot een verbreding van de structuren in die zin, dat men ertoe gebracht werd, structuren van structuren te onderzoeken. Categorieën en functoren deden hun intrede.
Bij de bestudering van de grondslagen der meetkunde speelt de algebra een grote rol: men stuit weer op structuren zoals lichamen en algebra’s, zowel associatief als niet-associatief.
De boole-ring, waarvan de elementen de deelverzamelingen zijn van een gegeven verzameling V en de operaties hiervoor beschreven zijn, is van grote betekenis bij de logica.
Onderzoekingen op het terrein van de kernfysica, welke wiskundig gesproken samenhingen met de stelling van Hamilton-Cayley (elke matrix voldoet aan zijn karakteristieke vergelijking), leidden tot de bestudering van een ringstructuur met een merkwaardige gegeneraliseerde associativiteitseigenschap.