Wiskunde of mathesis - = wetenschap (bij uitnemendheid). De w. is de wetenschap van het tellen en het meten, in den ruimsten zin genomen en tot in de verste consequenties doorgevoerd. Men onderscheidt zuivere w. en toegepaste w. De zuivere w. omvat als onderdeelen: 1. de rekenkunde, met de getallentheorie en de combinatieleer, 2. de algebra met de invariantentheorie en de groepentheorie, 3. de analyse (waarin het begrip oneindig klein verwerkt wordt), welke onderverdeeld kan worden in differentiaal- en integraalrekening, leer der differentiaal- en der integraalvergelijkingen eenerzijds en de theorie der functies (algemeene en bijzondere) anderzijds, 4. de meetkunde met de vertakkingen: analytische m., differentiaal-m., projectieve m., beschrijvende m., meetk. van het aantal, analysis situs; terwijl verschillende takken van w. verbindingsschakels vormen tusschen de meetkunde en de algebra en de analyse. Voor de verschillende onderdeelen der zuivere w. zie men bij de betreffende artikels. — Tot de toegepaste w. rekent men de werktuigkunde, de wisk. natuurkunde, de sterrekunde en de geodesie (landmeetkunde). — De w. werkt met begrippen, die deels uit de menschelijke intuïtie en de natuur van den menschelijken geest voortkomen (b.v. het begrip getal), deels door den geest gevormd zijn naar aanleiding van zintuiglijke waarnemingen (b.v. meetkundige begrippen als punt, lijn, enz.). De w. is opgebouwd op een stel grondwaarheden (axioma’s), die in laatste instantie niet anders zijn dan willekeurige (hoewel doelmatige) afspraken, die men maken moet om elkaar te kunnen begrijpen (axioma’s van de optelling, van de rechte lijn, e. d.). De wijsbegeerte van de w. heeft tot taak het aantal van deze axioma’s tot een minimum te herleiden.
Zijn eenmaal de axioma’s vastgesteld, dan volgen alle verdere waarheden daaruit volgens de onzen geest opgelegde wetten der logica. De intuïtie evenwel moet het zijn, die de logica in werking brengt, door de praemissen van de redeneering uit te kiezen. De wiskundige waarheden hebben zoodoende een graad van zekerheid, die het ideaal is voor de uitkomsten van elke andere wetenschap; toch staat en valt de waarheid der wisk. stellingen met de geldigheid der vooropgestelde axioma’s. De w. is zoo oud als de eerste ontwikkeling van den menschelijken geest. Reeds 2000 v. C. moet de w. in Egypte beoefend zijn. Men heeft een leerboek der rekenkunde gevonden, geschreven door den priester Ahmes, waarschijnlijk omstreeks 1800 v. C. Hierin wordt reeds het begrip „gebroken getal” als bekend ondersteld. Het boek bevat regels voor de rekening met breuken, alsook vraagstukken, die neerkomen op een vergelijking van den 1sten graad met één onbekende. In Egypte, waar door de overstroomingen van den Nijl het opmeten van de verloren gegane en herwonnen landerijen noodig werd, heeft ook de meetkunde haar oorsprong gehad.
De meetkunde is echter in de Oudheid het meest tot ontwikkeling gebracht door de Grieken: Thales (640-548 v. C.), Pythagoras (580-501), Archytas (430-365), Plato (429-348), Eudoxus (390-337), Aristoteles (384-322), Euclides (± 300), Archimedes (287-212), Eratosthenes (276-194), Apollonius van Perga (250-200), Nicomedes (± 200), Diocles (± 180), Perseus (± 150 v. C.), Diophantus (± 300 n. C.), Pappus (± 300 n. C.). De Pythagoraeërs, d. z. de wiskundigen uit de school van Pythagoras, hebben de getallenleer gegrondvest; zij hebben de onmeetbare getallen ontdekt. Plato en Aristoteles hebben de w. van hun tijd wijsgeerig beschouwd en in systeem gebracht. Euclides heeft een leerboek, Elementa geschreven, waarin hij, van enkele onbewijsbare grondstellingen (axioma’s) uitgaande, de geheele in zijn tijd bekende w. door logische redeneering afleidt. Deze „Elementen” van Euclides zijn nog heden ten dage het prototype van de leerboeken der lagere w. Apollonius van Perga heeft de leer der kegelsneden in een leerboek samengevat en met eigen vondsten uitgebreid. — De ontwikkeling van de algebra is voornamelijk te danken aan de Indiërs en de Arabieren, aan wie wij onze cijfers hebben ontleend. Ook de trigonometrie is van deze volken afkomstig. — In Europa heeft de w. in de Middeleeuwen betrekkelijk geringe vorderingen gemaakt. Eerst in de 13de eeuw begint de w. een hoogere vlucht te nemen: Leonardo van Pisa (Fibonacci, 1180-1250), Jordanus Nemorarius († 1236), Bradwardin (1290-1349), Oresme (1320-1382), Cusanus (1401-64), Peurbach (1423-61), Regiomontanus (1436-76), Leonardo da Vinci (1452-1519). — De algebra werd eerst algemeener verbreid sedert de 15de eeuw. Langzamerhand wordt de algebraïsche symboliek geschapen en verbeterd. De negatieve getallen, reeds ingevoerd door de Indiërs, worden in de beschouwing opgenomen.
Een mijlpaal in de ontwikkeling van de algebra is de oplossing van de vergelijking van den 3den graad: Cardanus (1501-76), Tartaglia (1501-57), Ferrari (1522-65). De imaginaire getallen worden wel is waar als rekengrootheden „erkend”, maar het stelselmatig gebruik ervan moest wachten op Euler. — De meetkunde werd vooruitgebracht door mannen als Apianus (1495-1552), Gemma Frisius (1508-55), Mercator (1512-94), Vieta (1540-1603), terwijl deze laatste met Stevin (1548-1620) en Bürgi (1552-1632) voor de tiendeelige breuken een geslaagde propaganda voerden. In dezen tijd valt ook de uitvinding van de logarithmen, onafhankelijk van elkaar door Bürgi en Napier (1550-1617), met verbeteringen door Briggs (1556-1630). De trigonometrie wordt beoefend door Snellius (1581-1626). Thans breekt een tijd aan, waarin de w. in steeds snellere vaart vooruitkomt. Descartes (1596-1650) past de algebra op de meetkunde toe en wordt de grondlegger der analytische meetkunde; Fermat (1601-65) legt de grondslagen voor de moderne getallentheorie; met Pascal (1623-62) kan Fermat ook beschouwd worden als de grondlegger der waarschijnlijkheidsrekening. Van Schooten (1615-60) werkte de leer van Descartes uit, Huygens (1629-95) bouwde voort op het werk van Fermat en Pascal. Desargues (1593-1662) opende nieuwe gezichtspunten in de meetkunde door de perspectivische verschijnselen als punt van uitgang te nemen.
Jan de Witt (1625-72) legde de grondslagen voor de levensverzekeringswetenschap. — Van buitengewoon verre strekking werd de uitvinding van de differentiaalrekening door Leibniz (1646-1716) en Newton (1643-1727). Jac. Bernoulli (1654-1705), Joh. Bernoulli (1667-1748), de l’Hospital (1661-1704), Taylor (1685-1731), Mac-Laurin (1698-1746) en Euler (1707-1783) brachten dezen nieuwen tak van w. en haar pendant, de integraalrekening, spoedig tot hooge ontwikkeling. Een eveneens nieuwe methode tot het oplossen van zekere maximum- en minimumvraagstukken, de z.g. variatierekening, werd gegrondvest door Joh. Bernoulli en Euler, en later tot grooter volmaking gebracht door Lagrange (1736-1813). De waarschijnlijkheidsrekening heeft in dien tijd veel te danken gehad aan Jac. Bernoulli, Daniel Bernoulli (1700-82) en Euler. — De algebra werd inmiddels vooruitgebracht door Descartes, Tschirnhausen (1651-1708), Rolle (1652-1719), Newton, Euler, Cramer (1704-1752), Bezout (1730-83) en Lagrange. Vooral de leer der hoogere machtsvergelijkingen werd verdiept, terwijl ook de determinanten hun intrede deden. — De getallentheorie is na Fermat verder ontwikkeld door Euler, Lagrange en Legendre (1752-1833). — De differentiaal- en intregaalrekening waren intusschen verrijkt met de leer der differentiaalvergelijkingen, vooral door den arbeid van Euler, Clairaut (1713-65), d’Alembert (1717-83), Lagrange, Legendre, Monge (1746-1818) en Laplace (1749-1827). — In de meetkunde kwam, naast de analytische methode van Descartes, Newton en de Bernoulli’s, de constructieve methode meer tot ontplooiïng door de vorderingen in de leer der perspectief aan de hand van Desargues, Lambert (1728-77) en vooral door de uitvinding der rechthoekige projectiemethode der gewone beschrijvende meetkunde door Monge, terwijl zich daaruit de projectieve meetkunde ontwikkelde in den arbeid van Poncelet (1788-1867), Chasles (1793-1880), Steiner (1796-1863) en v. Staudt 1798-1867). — In ’t begin van de 19de eeuw is het Gauss (1777-1855), die de meeste takken der wiskunde als „princeps mathematicorum” beheerscht, met name de getallentheorie, de algebra, de waarschijnlijkheidsrekening en de differentiaalmeetkunde (leer van de kromming van lijnen en oppervlakken).
Intusschen ontstaat een nieuwe aftakking van de leer der differentiaalvergelijkingen, die allengs hoe langer hoe onafhankelijker wordt: de functientheorie. Deze is in den aanvang in ’t bijzonder vooruitgebracht door Cauchy (1789-1857) en Abel (1802-29), later door Riemann (1826-66) en Weierstrass (1815-97). Reeds vóór de grondlegging van deze algemeene functiëntheorie hadden verschillende bijzondere functies de aandacht der wiskundigen getrokken: bolfuncties (Legendre), functies van Bessel (1784-1846), de hypergeometrische functies (Gauss) en vooral de elliptische functies, ontstaan door omkeering van de, hoofdzakelijk door Legendre bestudeerde, elliptische integralen. De elliptische functies hebben voornamelijk hun ontwikkeling te danken aan Abel, Jacobi (1804-51) en Weierstrass, terwijl ze bovendien uit een algemeener standpunt zijn beschouwd door Abel (functies van Abel). — De leer der algebraïsche vergelijkingen had inmiddels een ander aspect gekregen door de toepassing van de theorie der eindige groepen, ingeleid door Lagrange en verder ontwikkeld door Galois (1811-32). Later heeft Lie (1842-99) ook de theorie der z.g. continue groepen gegrondvest, welke ten nauwste samenhangt met de oplossingsmethoden der differentiaalvergelijkingen. De groepentheorie heeft zich doen kennen als een van de fundamenteelste leerwijzen der w. Zij heeft onder de handen van Klein (geb. 1849) en Poincaré (1854-1912) zeer veel diensten bewezen aan de meest verschillende takken van wiskunde. — In de algebra is de leer der algebraïsche vormen op den voorgrond gekomen met de daaraan verbonden invariantentheorie, voor een groot deel door den arbeid van Aronhold (1819-84), Cayley (1821-95), Eisenstein (1833-52), Clebsch (1833-72) en Frobenius (1849-1917). — Ook de analytische meetkunde heeft in de 19de eeuw groote vorderingen gemaakt, vooral door ’t werk van Möbius (1790-1868), Plücker (1801-1868), Hesse (1811-74), Cayley, Clebsch, Brill (geb. 1842) en Noether (1844-1921). — De getallentheorie is na Gauss verder ontwikkeld door Lejeune Dirichlet (1805-59), Kummer (1810-93), Eisenstein, Kronecker (1823-91), Dedekind (1831-1916), Minkowski (1864-1909) en Hilbert (geb. 1862). — In de leer der differentiaalvergelijkingen zijn nieuwe methoden gegeven door Poincaré, Picard (1856-1911) en Painlevé (geb. 1863). Als nieuwe tak is daaraan toegevoegd de leer der integraalvergelijkingen, welke gewrocht is door Volterra (geb. 1860), Fredholm (geb. 1866) en Hilbert. — In de 19de eeuw zijn een reeks tot dusver onopgehelderde vraagstukken tot klaarheid gebracht. Zoo is aangetoond, dat de drie klassieke problemen: de verdubbeling van den kubus, de driedeeling van den hoek en de kwadratuur van den cirkel, inderdaad onoplosbaar zijn met de daarvoor ten dienste gestelde hulpmiddelen (passer en lineaal).
De kwadratuur van den cirkel is van de baan sedert Lindemann (geb. 1862) heeft bewezen, dat het getal π transcendent is, waarbij hij steunde op de ontdekking van Hermite (1822-1901), dat ook het grondtal e der natuurlijke logarithmen transcendent is. Tevens is in de 19de eeuw licht verspreid over de eeuwenlange strijdvraag: of het axioma der evenwijdige lijnen (het z.g. 5de postulaat van Euclides) inderdaad een axioma, d. w. z. een onbewijsbare onderstelling is. Lobatschewsky (1793-1856), Wolfgang Bolyai (1775-1856) en Johann Bolyai (1802-60) hebben door ’t opbouwen van een van de gewone meetkunde afwijkende ,,niet-Euclidische” meetkunde, die vrij is van innerlijke tegenstrijdigheden, bewezen, dat het axioma van Euclides werkelijk niet anders is dan een afspraak. Naast de niet-Euclidische meetkunde van Lobatschewsky-Bolyai heeft Riemann nog een andere niet-Euclidische meetkunde opgebouwd, en zelfs den weg aangewezen, waarop men de meetkunde nòg algemeener kan maken, zonder dat zij met zichzelf in strijd komt. Aan Riemann en Grassmann (1809-77) heeft men te danken de uitbreiding van het aantal afmetingen in de meetkunde.
De meerdimensionale meetkunde heeft belangrijke diensten aan verschillende andere takken der w. bewezen. — In ’t laatst van de 19de eeuw heeft men de behoefte gevoeld aan een strenge kritiek op de methoden der oudere w. Als vanzelf sprekend beschouwde grondbeginselen bleken niet algemeen geldig te zijn. Vooral in de differentiaal- en integraalrekening heeft men met vele overgeleverde opvattingen afgerekend. De leer der axioma’s is geheel herzien. Ook een scherpere analyse van het begrip „oneindig” heeft veel tegenstrijdigheden blootgelegd en grootendeels opgeheven; de leer der verzamelingen, gegrondvest door G. Cantor (1845-1918), heeft op dit gebied een geheel nieuwe wereld van begrippen geschapen. Geen wonder, dat zoodoende ook de wijsbegeerte der w. hoe langer hoe meer belangstelling is gaan trekken, niet het minst door den grootschen arbeid van Poincaré.
Litteratuur: M. Cantor, Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik. 4 dln. Leipzig, Teubner; S. Günther, H. Wieleitner, Geschichte der Mathematik. Leipzig, Samml. Schubert; A. Sturm, Geschichte der Mathematik. Leipzig, Sammlung Göschen; M. Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie, Paris, 1875; J. F. Montucla, Histoire des mathématiques, Paris, 1802; W. W. Rouse Ball, History of Mathematics, London, Mac Millan; H. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter; A. Voss, Die Beziehung der Mathematik zur Kultur der Gegenwart; A. Voss, Über die mathematische Erkenntnis, Leipzig, Teubner; J. Versluis, Beknopte geschiedenis der wiskunde, Amsterdam, 1902; D. J. Korteweg, Het bloeitijdperk der wiskundige wetenschappen in Nederland; Hk. de Vries, De vierde dimensie, Groningen, Noordhoff; A. N. Whitehead, The principles of Mathematics. 3 dln. Cambridge, 1905/13; dez., Introduction to Mathematics (Home Univ. Libr.), Lond. 1912.
