Loopbaan - van een hemellichaam. Onder den invloed der algemeene aantrekkingskracht beschrijven twee lichamen een kegelsnede (ellips, parabool of hyperbool) om het gemeenschappelijk zwaartepunt; de beweging wordt beheerscht door de wetten van Kepler. Hier zal verder alleen sprake zijn van de beweging der leden van het zonnestelsel, planeten en kometen, om de zon; de bepaling van de banen der dubbelsterren blijft dus buiten beschouwing. Ten tijde van Kepler waren behalve de Aarde enkel de planeten Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus bekend.
Kepler heeft de banen dezer lichamen bepaald uit de over meer dan 20 jaren loopende waarnemingen van Tycho Brahe (zie ZONNESTELSEL). Voorloopig was het vraagstuk der planetenbeweging van de baan, terwijl daarentegen dat der kometenbeweging meer en meer de aandacht ging vragen. Newton gaf een rekenwijze aan, om de parabolische loopbaan der kometen om de zon te bepalen en Halley paste de methode met succes toe (zie KOMETEN). Maar men bleef het vraagstuk ijverig bestudeeren, ten einde tot eenvoudiger oplossingen te komen. Velen besteedden er hun krachten aan: Ruler, Lambert, Hennert, Boscovich Lagrange, Pingré e. a. Maar eerst aan Olbers gelukte het, een praktische en voor de meeste gevallen bruikbare oplossing te vinden. Deze oplossing, het eerst beschreven in het beroemde werkje „Abhandlung über die leichteste und bequemste Methode, die Bahn einer Comete aus einiger Beobachtungen zu berechnen” von W. Olbers (Weimar 1797), is nog steeds in gebruik. Het algemeene probleem der elliptische (of hyperbolische) loopbaan, waarvan dat der parabolische baan (e = 1) een bijzonder geval is, is een vraagstuk met 6 onbekenden, de 5 elementen der baan en de Epoche, die de plaats van het hemellichaam in de baan bepaalt. Voor de oplossing zijn dus 6 gegevens noodig, waarvoor men steeds 3 volledige waarnemingen kiest (rechte klimming en declinatie der komeet op 3 tijdstippen).
De vraag is nu, voor de 3 waarnemingstijden t, t’, t”, waarop dus de 3 richtingen aarde-komeet bekend zijn, de afstanden ϱ, ϱ’, ϱ” te vinden. Want dan volgen uit een eenvoudige meetkundige beschouwing ook de afstanden (r, r’, r”) zon-komeet, en kan verder de kegelsnede geconstrueerd worden. Daar de 3 kometen-plaatsen met de zon in een plat vlak moeten liggen, valt ϱ als onbekende uit: de twee overblijvende onbekenden zijn nu te bepalen uit de voorwaarde, dat de perksnelheid voor de beide intervallen t’-t en t’’-t’ de waarde ½ √ M p krijgt, waarin p de parameter der baan, en M de massa der zon. Voor een parabolische loopbaan (e = 1) heeft het vraagstuk maar 5 onbekenden, en de 6 gegevens behoeven dus niet alle gebruikt te worden. Olbers gaf van dit vraagstuk een eenvoudige oplossing: zoowel in de aardals in de kometenbaan verving hij de perken, die evenredig aan de tusschentijden zijn (wet der perken) door de driehoeken, en deze vereenvoudiging stelde hem in staat, ϱ” in ϱ uit te drukken en het probleem derhalve te herleiden tot een vraagstuk met één onbekende, die nu opgelost wordt met behulp van het beroemde theorema van Euler: 6 (t” t) √ M = (r + r” + k) 3/2 + (r + r”k) 3/2, waarin k de koorde tusschen de eerste en derde kometenplaats voorstelt, die evenals r en r” gemakkelijk in ϱ kan worden uitgedrukt. — Veel samengestelder dan het toch ook al zeer bewerkelijke parabolische vraagstuk is het probleem der algemeene baanbepaling. Het kwam plotseling aan de orde door de ontdekking (1801) van Ceres, de eerste planetoide, en het werd nog in hetzelfde jaar door Gauss opgelost en in het beroemde werk Theoria motus corporum coelestium (Hamburg 1809) verder uitgewerkt. De methoden van Olbers en Gauss zijn door v. Oppolzer en anderen niet onbelangrijk gewijzigd. Gibbs gaf een zeer elegante, nauwkeurige en algemeene methode, berustende op het gebruik van vectoren.
Door Harzer en Leuschner is in gewijzigden vorm een rekenwijze aanbevolen, die reeds door Laplace in de Mémoires de l’Ac. des Sc. van 1780 was uiteengezet, maar die in het vergeetboek was geraakt. De hier aangeduide methoden leiden alle slechts tot voorloopige banen. Bij de afleiding van definitieve banen behooren de storingen, althans voor Jupiter en Saturnus in rekening gebracht te worden. Naast het vraagstuk der loopbaanbepaling uit waarnemingen, staat het veel eenvoudiger probleem, om uit de bekende elementen voor zeker tijdstip de plaats aan den hemel af te leiden. Uit de Epoche en de perksnelheid volgt de (ware) anomalie, waaruit verder met behulp van de elementen de voerstraal wordt berekend.
Voerstraal en anomalie bepalen de plaats van het hemellichaam ten opzichte van de zon, d. i. de heliocentrische plaats, waaruit dan door een eenvoudige meetkundige beschouwing de geocentrische plaats wordt afgeleid, d. i. de plaats, waar een zich in het middelpunt der aarde bevindende waarnemer de komeet of de planeet op het beschouwde tijdstip aan den hemel ziet. Een vrij uitvoerige, maar toch nog elementaire behandeling van het probleem der baanbepaling vindt men in het werk van J. Frischauf, Grundriss der theoretischen Astronomie und der Geschichte der Planetentheorien (2. Aufl. Leipzig 1903).
