Birationale transformatie. Wanneer tusschen p grootheden x1, x2,.... xp en p grootheden y1 ,y2,.... yp een zoodanig verband bestaat, dat elke y een geheele homogene rationale ne-graadsfunctie is van de grootheden x en dat t e v e n s elke x een geheele homogene rationale me-graadsfunctie is van de grootheden y, dan heet de overgang van de grootheden x op de grootheden y of vice versa een birationale transformatie. — In het geval p = 3 kunnen de grootheden x1, x2, x3, beschouwd worden als homogene coördinaten (zie ANALYTISCHE MEETKUNDE) in een plat vlak, evenzoo y1, y2, y3. Een b. t. voegt dan aan elk punt (x) éen enkel punt (y) toe en omgekeerd. (Alleen voor enkele uitzonderingspunten, fundamentaalpunten of grondpunten geheeten, geldt deze eigenschap niet). Men spreekt in dit geval van een b. t. van het vlak.
Een kromme lijn (X), beschreven door een punt (x), welke dus voorgesteld wordt door een homogene vergelijking in x1, x2, x3, wordt door b.t. omgezet in een kromme lijn (Y), beschreven door het toegevoegde punt (y), welke beantwoordt aan de door transformatie ontstane homogene vergelijking in y1, y2, y3. Twee door b. t. uit elkaar afgeleide kromme lijnen hebben hetzelfde g e s l a c h t, terwijl ze in ’t algemeen van verschillenden graad zijn. Bijv. : x1 = y2 y3, x2 = y3y1, x3 = y1 y2 is een b. t. van den tweeden graad. De rechte lijnen a1x1 + + a2x2 + a3x3 = 0 worden omgezet in de kegelsneden a1y2y3 + a2 y3 y1 + a3 y1 y2 = 0. In het geval p = 4 zijn x1, x2, x3, x4 te beschouwen als homogene coördinaten in de ruimte, evenzoo y1, y2, y3, y4. Een b. t. zet een oppervlak om in een ander oppervlak, waarvan eveneens het geslacht onveranderd blijft. Op dezelfde wijze kan men een meetkundige figuur, welke bepaald is door een homogene vergelijking in p, veranderen door b. t. om te zetten in een dergelijke figuur. De b. t. heet ook wel transformatie van Cremona naar den wiskundige, die ze het eerst stelselmatig heeft bestudeerd.
