(m + n) + p = m + (n + p) (m⋅ n)⋅ p = m⋅ (n⋅ p) m-{n + p) = m-n + m-p pm + n = pm⋅ pn (pm)n = pm⋅ n Naast het begrip kardinaalgetal kent men het begrip ordinaalgetal (ordetype), een begrip dat betrekking heeft op geordende verzamelingen. Men noemt hierbij een verzameling A (totaal) geordend indien men haar elementen kan rangschikken met behulp van de relatie ≦ (d.w.z. a komt vóór, of is gelijk aan b). Deze ordening moet totaal zijn, d.w.z. voor elk tweetal elementen a en b van A moet gelden: a ≦ b òf b ≦ a òf a = b. Verder geldt: reflexiviteit: a ≦ a antisymmetrie: als a ≦ b èn b ≦ a dan: a = b transitiviteit: als a ≦ b èn b ≦ c dan: a ≦ c Voorbeelden hiervan: de verzamelingen der gehele getallen of [Kl der natuurlijke getallen, elk met ordening volgens opklimmende grootte, maar ook de verzameling van alle woorden van eindige lengte, indien alfabetisch gerangschikt. Wanneer zo’n geordende verzameling A een eerste element a heeft (d.w.z. a ≦ x voor alle x ∈ A), dan noemt men deze verzameling welgeordend. De verzameling van alle gehele getallen is niet welgeordend, de verzameling van alle natuurlijke getallen daarentegen wel. Men noemt twee verzamelingen A en B orde-isomorf indien er een één-één-duidige afbeelding f van A op B is die de ordening intact laat, d.w.z. als a ≦ b dan geldt f(a) ≦ f(b) en omgekeerd. Het orde-isomorf zijn blijkt een equivalentierelatie tussen verzamelingen te zijn; men kan dus spreken van klassen van onderling orde-isomorfe verzamelingen. De klassen van onderling orde-isomorfe welgeordende verzamelingen noemt men ordinaalgetallen (ordetypen). Deze kunnen zelf weer geordend worden en vormen dan een welgeordende verzameling. Iedere verzameling kan door keuze van een geschikte rangschikking welgeordend worden (b.v. de verzameling als volgt: 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3, ...). Bij elk ordinaalgetal is een ordinaalgetal aan te wijzen dat 1 groter is: voeg aan de betreffende welgeordende verzameling één element toe.
Naast de zgn. intuïtieve verzamelingenleer zijn er verschillende axiomatische wijzen van opbouw mogelijk, b.v. die van Zermelo-Fraenkel en die van Von Neumann-Bernays-Gödel. Mede aanleiding hiertoe waren de paradoxen waartoe de intuïtieve verzamelingenleer aanleiding gaf, o.a. die van Cantor over de verzameling van alle verzamelingen, of die van Russell (in een plaats is een barbier die iedere man scheert die zichzelf niet scheert; vraag: behoort deze barbier tot de verzameling van genoemde mannen?). In de axiomatiek hoort ook thuis het zgn. keuze-axioma (Zermelo) dat bij elke verzameling A van niet lege verzamelingen het bestaan van een functie f (keuze-functie) postuleert die aan iedere verzameling a ∈ A een element f(a) ∈ a toevoegt. Gelijkwaardig hiermee is het zgn. lemma van Zorn over geordende verzamelingen. [dr.A.W.Grootendorst] LITT. P.R.Halmos, Naive setheory (1960); P.Suppes, Axiomatic setheory (1965); E.Kamke, Mengenlehre (1971); D.van Dalen, H.C.Doets en H.C.M.de Swart, Verzamelingen (1975).
