(Fr.: fonction; Du.: Funktion; Eng.: function). Indien A en B verzamelingen zijn dan verstaat men onder een functie ƒ van A naar B (notatie ƒ: A ⟶ B) een voorschrift dat aan elk element x van A precies één element van B toevoegt.
Dit laatste element noemt men het beeld van x en dit wordt genoteerd als ƒ(x); men noemt x het origineel van ƒ(x). De verzameling A heet de definitieverzameling ofwel het domein van ƒ. De verzameling B heet het bereik ofwel het codomein van ƒ. De verzameling van de door ƒ ontworpen beelden van alle elementen van A heet de beeldverzameling of ook het beeld van A, genoteerd als ƒ(A), dus:
ƒ(A) = {ƒ(x)|x ∈ A}
Een functie is uiteraard eerst dan bekend wanneer men weet waarin elk element x van A wordt overgevoerd. Dit moet in een goede notatie weergegeven worden. Als bijv. A de verzameling ℤ der gehele getallen is en het functievoorschrift van ƒ ‘kwadrateren’ luidt, dan kan men ℤ afbeelden in ℕ door middel van een functie ƒ van ℤ naar ℕ, dus ƒ: ℤ ⟶ ℕ en men geeft de definitie van ƒ (met een ander soort pijl) aldus aan:
ƒ: x ↦ x2
In dit geval is het domein ℤ , het codomein ℕ; de beeldverzameling is de verzameling kwadraten {0, 1, 4, 9, 16, ...}. Wanneer het codomein tevens de waardenverzameling is dan spreekt men van een functie ƒ van A op B; ƒ heet dan een surjectie. Wanneer ieder beeld slechts één origineel heeft, dus uit
ƒ(a) = ƒ(b) volgt a = b, dan noemt men ƒ een injectie. Indien ƒ zowel surjectie als injectie is dan noemt men ƒ een bijectie.
Belangrijke klassen functies zijn: reële functies (van één variabele), d.w.z. functies van ℝ naar ℝ; complexe functies d.w.z. functies van ℂ naar ℂ. Reële functies van n (reële) variabelen zijn functies, gedefinieerd op het cartesische produkt van n factoren ℝ: ℝ × ℝ × ℝ × ... × ℝ, met waarden in ℝ. Deze voegen aan ieder geordend n-tal elementen van ℝ een element van ℝ toe.
Bijv. (n = 2): ƒ: (x, 4) ↦ x2 + y2.