(Fr.: projection axonométrique; Du.: axonometrische Projektion; Eng.: axonometric projection). Het opzetten van technische tekeningen geschiedt steeds door het aangeven van aanzichten van het object. Bij ingewikkelde bouwwerken zal een aanschouwelijke voorstelling van de constructie verhelderend werken; hiertoe neemt de architect voor grote bouwwerken zijn toevlucht tot de relatief meer bewerkelijke perspectivische voorstelling.
De technicus denkt voor zijn details eerder aan een eenvoudige axonometrische voorstelling, hieruit bestaande dat het object, dat een schuine stand heeft ten opzichte van het projectievlak (of vlak van tekening), ook wel tafereel genoemd, hierop loodrecht geprojecteerd wordt. De aldus verkregen afbeelding noemt men ook wel axonometrisch perspectief, waarbij het voorwerp als het ware bekeken wordt vanuit een in het oneindige gelegen oog.
In afb. 1 wordt het object, een rechthoekig parallellepipedum OabcP, loodrecht op het schuin opgestelde tafereel ABC geprojecteerd. In afb. 2 is het tafereel ABC in het vlak van tekening gebracht. Hierbij zijn O′X′, O′Y′ en O′Z′ de projecties van de rechthoekige coördinaatassen OX, OY en OZ, en O′a′b′c′P′ de axonometrische projectie of het beeld van OabcP. De stand van vlak ABC wordt bepaald door de hoeken ⍺, β en γ, welke de normaal OO′ maakt met de coördinaatassen (afb. 3); deze hoeken zijn van elkaar afhankelijk. Denkt men verder door O′ drie vlakken evenwijdig aan de coördinaatvlakken XOY, YOZ en XOZ aangebracht, dan sluiten deze daarmee een rechthoekig parallellepipedum in met ribben OO′ cos ⍺, OO′ cos β en OO′ cos γ terwijl OO′ de diagonaal is. Hierbij is dan OO′2 = OO′2 cos2 ⍺ + OO′2 cos2 β + OO′2 cos2 γ, ofwel: cos2 ⍺ + cos2 β + cos2 γ = 1 en dus uiteraard:
sin2⍺ + sin2β + sin2γ = 2 (1)
Uit de figuur blijkt duidelijk dat O′A = OA sin ⍺, O′B = OB sin β en O′C = Oc sin γ; en dus zijn sin ⍺, sin β en sin γ tevens de verkortingsverhoudingen van de assen OA, OB en OC bij de projectie op het tafereel. Alle lijnen die evenwijdig met deze assen lopen, worden in dezelfde verhoudingen verkort in het beeld; met het tafereel evenwijdige lijnen blijven onverkort. Noemt men de verkortingsverhoudingen in richtingen O′A, O′B en O′C resp. m, n en p, dan is:
m: n : p = sin ⍺ : sin β : sin γ (2)
In afb. 3 zijn de assen AO′, BO′ en CO′ verlengd tot A′, B′ en C′. Daar nu OO′ loodrecht op het tafereel, dus ook op AB, staat en ook AB ⟂ OC, is dus AB ⟂ vlak COC′, dus ook AB ⟂ CC′. Op deze wijze is aan te tonen dat AA′, BB′ en CC′ de drie hoogtelijnen van △ ABC zijn.
In afb. 4 is △ COC′ om de lijn CC′ in het tafereel neergeslagen. De vorm van deze driehoek met ∠ COO′ = γ is bekend, waarbij de absolute grootte van CO′ niet relevant is. Door C′ trekt men dan de horizontale grondlijn van het tafereel, die de aangenomen as O′X in A snijdt. Cirkel nu vanuit O′ de afstand O′A naar boven om tot x, dan komt O′Ox overeen met ⍺. Trek nu de lijn CA, en de hoogtelijn door O′ loodrecht op CA, dan vormt deze lijn de derde coördinaatas YO′. Deze snijdt de horizontale lijn AC′ in B. Cirkelt men B vanuit O′ om naar y, dan is ook de derde hoek β = ∠ yOO′ bekend.
Met het voorgaande kunnen nu de hoeken ⍺, β en γ worden gevonden, als men uitgaat van de verhouding m : n : p. Het eenvoudigste geval vormt de zgn. isometrische projectie, waarbij de drie verkortingsverhoudingen gelijk zijn, dus volgens (2):
m : n : p = 1 : 1 : 1, dus m = n = p
terwijl volgens (1):
m2 + n2 + p2 = 2
zodat:
3m2 = 2, dus m = 0,816 = sin ⍺
⍺ ≈ 54°40 (= β = γ)
Brengt men de constructie van afb. 4 met deze hoeken in toepassing, dan volgt uit afb. 5 dat de stand der assen O′A en O′B symmetrisch moet zijn ten opzichte van CO′, en wel onder 30° met de horizontaal.
Een tweede veel voorkomend geval is de dimetrische projectie, die van de verhouding uitgaat:
m : n : p : 1 : 0,5 : 1, dus m = p = 2n
terwijl volgens (1):
4n2 + n2 + 4n2 = 2
zodat:
9n2 = 2, dus n = 0,471 = sin β
β = 28°10
en
m = 0,942 = sin ⍺
⍺ = γ = 70°35
Met deze waarden is afb. 6 geconstrueerd, waarbij blijkt dat de as O′A wijkt onder een helling van ca. 42° met de horizontaal en de as O′B met een helling van ca 7°.
In afb. 7 en 8 zijn twee duidelijke voorbeelden gegeven van isometrische en dimetrische projecties, zoals deze in de praktijk van de machinebouw en voor bouwkundige details veel worden toegepast.
Tenslotte bestaat er nog de trimetrische projectie, waarbij m, n en p verschillend zijn. Hoewel slechts van academische waarde, kan deze op de volgende eenvoudige wijze worden uiteengezet. In afb. 9 is een willekeurig assenstelsel O′ABC voorgesteld. Verlengt men de drie assen met stippellijnen in de richtingen A′, B′ en C′, en construeert men hierop de gestippelde driehoek, die met haar zijden ⟂ op deze hoogtelijnen staat, dan worden de aslengten m, n en p verkregen in de gevraagde verkortingsverhoudingen.
Een vereenvoudiging van de dimetrische projectie is de scheve projectie, ook wel genoemd de cavalière-perspectief, waarbij de projecterende stralen niet loodrecht door het tafereel worden gesneden. In afb. 10 is eenvoudigheidshalve het object evenwijdig aan het tafereel aangebracht. In feite verkrijgt men met deze projectie een vertekend beeld, hetgeen voor het doel (een aanschouwelijke voorstelling van de vaak ingewikkelde vorm van het object) niet bezwaarlijk is. Men kiest daarbij meestal 30° of 45° voor de hoek δ, met tevens de verkortingsverhoudingen in OY-, OZ- en OX-richtingen in de verhouding van 1 : 1 : 0,5. Een praktisch voorbeeld geeft afb. 11.
Een bijzonder aspect: een bol zal in axonometrische projectie een zuivere cirkel geven, in de scheve projectie echter altijd een ellips.