v., tak van de wiskunde die de differentiaal-en integraalrekening toepast op vectorvelden en scalaire velden.
Indien een scalairveld bepaald wordt door een differentieerbare functie F, die aan ieder punt van de ruimte een getal F(x,y,z) toevoegt, dan kan men daaruit een vectorveld construeren met behulp van de zgn. nabla-operator 𝛻, die aan het punt (x,y,z) toevoegt de vector met kentallen (∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z).
Deze vector, die men noteert als 𝛻F noemt men de gradiënt van het scalairveld F. Men kan deze gradiënt zien als het resultaat van een vermenigvuldiging van de ‘formele vector'
𝛻 = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) met de ‘formele constante’ F. De richting van de gradiënt geeft de richting aan waarin F(x,y,z) het sterkst verandert; de grootte van 𝛻F is een maat voor die verandering. Bij een gegeven vectorveld v̄ (x,y,z) = (v1(x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z)) met differentieerbare v1, v2 en v3 kan men met behulp van de nablaoperator een scalairveld, dan wel een vectorveld construeren, al naar men het formele inwendige produkt 𝛻 ⋅ v̄ , dan wel het formele uitwendige produkt 𝛻 x v̄ berekent. In het eerste geval krijgt men een scalairveld, de divergentie van v̄(x,y,z) (notatie: div v̄): div v̄ = 𝛻 ⋅ v̄ = (∂v₁)/∂x,(∂v₂)/∂y,(∂v₃)/∂z.
In het tweede geval krijgt men een vectorveld, de rotatie van v̄ (x,y,z) (notatie: rot v̄):
rot v̄ = 𝛻 x v̄ = ((∂v₃)/∂y-(∂v₂)/∂z,(∂v₁)/∂z-(∂v₃)/∂x,(∂v₂)/∂x-(∂v₁)/∂y Stelt v̄(x,y,z) de snelheidsverdeling voor van een onsamendrukbare vloeistof in een gebied waarin zich bronnen bevinden, dan stelt div v̄ de opbrengst voor van een bron in het punt met coördinaten (x,y,z). Met betrekking tot de rotatie zij hier slechts opgemerkt dat, indien deze nul is in het gehele beschouwde gebied, de vloeistofstroming daar wervelvrij is. Van de vele betrekkingen die men tussen rot v̄, div v̄ en grad F kan afleiden worden hier slechts genoemd: 𝛻 x (𝛻F) = rot grad F = 0; 𝛻 ⋅ (𝛻 x v̄) = div rot v̄ = 0; 𝛻 ⋅ 𝛻F = ∂²F/∂x²+∂²F/∂y²+∂²F/∂z².
Dit laatste schrijft men ook wel met de Laplace-operator 𝛻F, dus 𝛻 ⋅ 𝛻F = ∆F. Genoemde begrippen worden gehanteerd bij de zgn. integraalstellingen van Stokes, Gauss en Green, die weer van groot belang zijn voor de stromingsleer, de elektriciteitsleer en de leer van het magnetisme.
De vectoranalyse, die sedert het klassieke werk van J.C.Maxwell tot grote bloei is gebracht, is voortgezet in de tensoranalyse, waar het begrip vector wordt uitgebreid tot de begrippen dyade en tensor, die men kan opvatten als lineaire transformaties van een driedimensionale euclidische ruimte (zoals men een vector kan identificeren met een verplaatsing in het platte vlak). Tensoren spelen een grote rol in de elasticiteitsleer.
LITT. L. Brand, Vectoranalysis (1961); L. Kuipers en R. Timman (red.), Handboek der wiskunde I (1963); A. Kyrala, Theoretical physics, applications of vectors, matrices, tensors and quaternions (1967).
