o. (-en), een geordend viertal reële getallen.
In analogie met de wijze waarop men de complexe getallen voorstelt in de gedaante a+bi, schrijft men het quaternion (a, b, c, d) meestal als een formele som a + bi + cj + dk, waarbij a,b,c,d reële getallen zijn en i, j, k de primaire eenheden. Men noemt a het scalaire deel van het quaternion en bi + cj + dk het vectoriële deel. Twee quaternionen α = a + bi + cj + dk en α' = a' + b'i + c'j + d'k zijn gelijk indien a = a', b = b', c = c' en d = d'.
De som α + α' is gedefinieerd door α + α' = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k. De vermenigvuldiging van twee quaternionen geschiedt als die van twee veeltermen met dien verstande dat de reële getallen commuteren met de eenheden i, j, k dus b.v. ai = ia, maar voor de vermenigvuldiging van i, j, k onderling, geldt: ij = k = -ji; jk = i = -kj; ki = j = -ik; i2 = j2 = k2 = -
1. Deze vermenigvuldiging blijkt dan nog wel associatief te zijn; d.w.z. voor drie quaternionen α, β, y geldt: (αβ)y = α(βy), maar de commutativiteit gaat verloren, d.w.z. in het algemeen geldt αβ≠βα. Naast ieder quaternion α = a + bi + cj + dk beschouwt men het geconjugeerde quaternion α' = a-bi-cj-dk. Het produkt αα' noemt men de norm van α (notatie: Nα): Nα = a2+b2+c2+dd
2. De oplossing van α = βζ is dan ζ = β'α /Nβ (indien Nβ ≠ 0).
Met deze optelling en vermenigvuldiging vormen de quaternionen een delingsring (d.w.z. een niet-commutatief lichaam). De theorie van de quaternionen is afkomstig van W.R.Hamilton (1805—65) en leidde tot de algemene theorie van de lineaire associatieve algebra’s. A.Cayley (1821—95) generaliseerde de quaternionen tot de octaven (geordende 8-tallen), waarvan de vermenigvuldiging noch associatief, noch commutatief is.
