heet een bewerking in de wiskunde en de wiskundige logika, indien haar resultaat onafhankelijk is van de groepering der objecten („elementen”) waarop zij wordt toegepast. Zij kan dan echter nog wel afhangen van de volgorde, waarin deze elementen worden genomen.
Worden deze elementen aangeduid door letters en wordt het resultaat van de op een aantal elementen toegepaste bewerking voorgesteld door de letters, die deze elementen voorstellen, gezamenlijk tussen haakjes te zetten, dan moet dus bijv. de bewerking, toegepast op de groepen (x, y, z) en (s, t), d.i. ((x,y, z), s, t)) hetzelfde resultaat geven als bij de groepen (x) en (y, z, s, t) of bij (x,y) en (z, s, t) of bij (x,y, z, s) en (t) of bij de gehele groep (x,y, z, s, t).Het is al voldoende, wanneer men uitgaat van toepassing van de bewerking op paren van elementen, mits het resultaat dan weer een object van dezelfde soort is. Kenmerkend voor de associativiteit is dan de algemene geldigheid van de betrekking ((x,y), z) = (x, (y,z)).
Voorbeelden van associatieve bewerkingen in de rekenkunde en algebra zijn: de optelling: (x + y) + z = x + (y + z) en de vermenigvuldiging: (xy) z = x (y z), maar niet de deling, daar (x/y)/z = x/(y z), maar (in het algemeen) niet = xl(y/z) = (xz)ly is, noch ook de machtsverheffing, daar (xy)z = xyz en (in het algemeen) niet = xyz is.
Andere voorbeelden van associatieve bewerkingen zijn: het vormen van het K.G.V. (kleinst gemene veelvoud) en de G.G.D. (grootst gemene deler) van een aantal getallen; het vormen van de doorsnede (in de elementaire wiskunde doorsnijding genaamd) van een aantal figuren („puntverzamelingen”), d.i. de figuur bestaande uit alle punten die tot elk der gegeven figuren behoren); het vormen van de vereniging van een aantal figuren, d.i. de figuur bestaande uit alle punten, die tot minstens één der gegeven figuren behoren (in de figuur is de vereniging van A en B horizontaal gearceerd). Alle genoemde bewerkingen zijn bovendien commutatief, d.w.z. onafhankelijk van de volgorde der elementen. Een voorbeeld van een associatieve maar niet commutatieve bewerking is de vermenigvuldiging van quaternionen. Een ander voorbeeld wordt verkregen doordat men als „objecten” de veranderingen in plaats en stand („bewegingen”) van een veranderlijk vlak in een (daarmede samenvallend) vast vlak neemt (bijv. een blad papier op een tafel, beide onbepaald uitgebreid gedacht), en als het resultaat der bewerking, toegepast op twee zulke bewegingen A en B, de beweging ontstaande door eerst A en dan B uit te voeren.
In de mathematische logika zijn de conjunctie („zowel A als B is waar”, korter: „A en B”) en disjunctie („A of B”, d.w.z. „van de beide uitspraken A en B is minstens één waar”) van uitspraken voorbeelden van associatieve bewerkingen, die bovendien beide commutatief zijn.
PROF. DR D. VAN DANTZIG.
