v., 2. (wiskunde) ben. van een theorie die sprongsgewijs verlopende processen kan beschrijven.
© WISKUNDE. De catastrofentheorie is de door de Franse wiskundige R.Thom ontwikkelde en in 1968 voor het eerst gepubliceerde theorie om verschijnselen te beschrijven en te verklaren die een discontinu verloop hebben, d.w.z. waarbij sprongsgewijze veranderingen optreden. De hoofdstelling uit de catastrofentheorie is dat de discontinue processen die beheerst worden door vier of minder parameters (veranderlijken) in zeven essentieel verschillende typen zijn in te delen, de zeven elementaire catastrofen. Deze theorie die men mathematisch gezien kan rekenen tot de differentiaaltopologie (topologischdynamische systemen), vindt toepassing op velerlei gebied zoals natuurkunde, biologie, psychologie, sociologie en linguïstiek.
Een voorbeeld uit deze theorie is het volgende: laat een grootheid x (de gedragsvariabele) afhankelijk zijn van twee parameters (de stuurvariabelen) ut en u2. Men kan dan een grafische voorstelling maken van het verloop van x in zijn afhankelijkheid van u, en «2 door het oppervlak te beschouwen dat het punt P met coördinaten (ut, u2, x) doorloopt indien «i en M2 alle voor hen mogelijke waarden aannemen.
Wanneer dit oppervlak de in afb. 1 aangegeven gedaante heeft en dus een ‘plooi’ vertoont, dan is er in het u, en u2-vlak (het stuurvlak) een spits gebied aan te wijzen, nl. de projectie van de plooi op het u, en «2-vlak die de vertakkingsverzameling wordt genoemd. Als nu het punt (u, en u2) bij A dit gebied binnenkomt, verandert de waarde van x continu, d.w.z. het punt P blijft op de onderhelft van het oppervlak, ‘in de buurt van’ P0. Verlaat echter het punt («i, u2) bij B dit gebied, dan springt P van P, naar P2 en verandert x dus discontinu. Gaat nu/j(w,, u2) weer terug naar B en treedt het weer de vertakkingsverzameling binnen, dan blijft P op de bovenhelft en x verandert continu, tot P van P, naar P4 (=P0) springt op het moment dat («,, u2) bij A de vertakkingsverzameling verlaat. In veel gevallen staat het beschouwde systeem onder invloed van een energiefunctie E (x) en kan het systeem slechts in evenwicht verkeren indien x een zodanige waarde heeft dat E (x) stationair is, d.w.z. een minimum heeft (stabiel evenwicht) of een maximum of een buigpunt, welke beide laatste situaties corresponderen met een instabiel evenwicht. In al deze gevallen is vereist: E’(x) = 0 (d.w.z. de eerste afgeleide van E (x) is 0).
Uit deze eis volgt dan de waarde van x, bij gegeven waarden van u, en u2. Zo geldt b.v. als E (x) = \ x* u, x | u2 x1, dat bij gegeven u, en u2 de waarde van x uit E' (x) = 0 volgt, d.w.z. uit x3 — u, -n2 = 0. De punten P («,, u2, x) die zich in de plooi bevinden corresponderen met instabiele evenwichten.
Een praktische realisatie van zo’n systeem wordt geleverd door de catastrofenmachine van Zeeman (afb. 2). Deze bestaat uit een schijf S die in een horizontaal vlak kan draaien om een verticale as. Op de omtrek van de schijf bevindt zich een punt T dat via rubberbanden verbonden is met een vast punt O en een variabel punt Q. De stuurvariabelen zijn in dit geval de coördinaten u, en u2 van Q in het platte vlak. De gedragsvariabele x is de hoek waarover de schijf gedraaid is vanuit een zekere beginstand en de energiefunctie E (x) is de totale potentiële energie die in de rubberbanden is opgehoopt. De schijf kan slechts in evenwicht verkeren indien E (x) minimaal is.
Het blijkt dan dat er in het platte vlak een vertakkingsverzameling V is van de in afb. 2 geschetste vorm. Treedt het punt Q (uu u,_) bij A de verzameling V binnen, dan verandert de hoek x continu, maar indien Q bij B de verzameling V verlaat, dan springt de schijf abrupt in een andere evenwichtsstand.
In veel praktische gevallen zijn de systemen met maximaal vier stuurvariabelen (drie ruimtecoördinaten uu u2 en u3 en de tijd t) het belangrijkst. Uiteraard laten de hogerdimensionale (met meer dan vier dimensies) gevallen zich niet zo eenvoudig grafisch voorstellen als in het voorbeeld het geval was.
LITT. R.Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse (1972); Yung-Chen Lu, Singularity theory and introduction to catastrophe theory (1976); T.Pooton en I.Stewart, Catastrophe theory and its applications (1978).
