v./m., tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van verzamelingen.
De verzamelingenleer, die gefundeerd werd door G.Cantor, was aanvankelijk intuïtief opgezet, maar is later (te beginnen met de in 1908 gepubliceerde onderzoekingen van Zermelo) axiomatisch gefundeerd. De verzamelingenleer vormt thans de grondslag van de gehele wiskunde. In de niet-axiomatische, zgn. intuïtieve verzamelingenleer gaat men in wezen uit van de vage definitie van verzameling als een ‘stel dingen’, b.v. een stel boeken, een klas kinderen; die ‘dingen’, noemt men de elementen van de verzameling. Men kan een verzameling noteren door opsomming van al haar elementen (in het eindige geval); zo noteert men de verzameling gehele getallen groter dan 2 en kleiner dan 6 als {3,4,5}, maar ook geeft men een verzameling aan door een eigenschap die kenmerkend is voor de elementen van die verzameling: {x | E (x)} is de verzameling van alle elementen met eigenschap E. Zo gelden in de verzameling der gehele getallen:
{x | 2x6} = {3,4,5}.
Men kan een verzameling aanschouwelijk voorstellen als het gebied binnen een gesloten kromme (zgn. venndiagram). Wanneer x tot de verzameling A behoort, dan noteert men dit als x Є A; behoort x niet tot A, dan schrijft men: x ∉ A. De lege verzameling, d.i. de verzameling die geen enkel element bevat, geeft men aan met Ø. Men kan definiëren: Ø = {x | x ≠ x}.
Meestal gaat men uit van een bepaald ‘universum’ (U) waartoe alle beschouwde elementen behoren (in het bovenstaande voorbeeld waren dat de gehele getallen). Onder het complement van een verzameling A in U (notatie: Ac, A' of A*) verstaat men dan de verzameling van alle elementen van U die niet tot A behoren, dus Ac = {x | x ∉ A}. Twee verzamelingen A en B heten dan en slechts dan gelijk indien uit x Є A volgt x Є B en omgekeerd. Een verzameling B is een deelverzameling van de verzameling A (notatie: B ⊂ A), indien uit x Є B volgt x Є A. Indien B ⊂ A en B ≠ A, dan heet B een echte deelverzameling van A. Uit het bovenstaande volgt A=B ↔️A ⊂ B en B ⊂ A.
Men kan met verzamelingen verschillende bewerkingen uitvoeren: de vereniging A ∪ B van A en B is gedefinieerd als:
A ∪ B = {x | x Є A en/of x t B}.
Voor de doorsnede A ⋂ B van A en B geldt:
A ⋂ B = {x | x Є en x Є B}. Indien A ⋂ B = Ø, noemt men A en B disjunct. Het verschil A \ B heeft als definitie A \ B = {x | x Є A, x ∉ B}, dus A \ B = A ⋂ Bc. Het symmetrische verschil A ⊕ B van A en B is per definitie:
A ⊕ B = (A ⋂ Bc) U (Ac U B), dus A ⊕ B = {x | x Є A of x Є B; x ∉ A ∪ B}.
Voor deze operaties gelden o.a. de volgende wetten:
commutativiteit: A ∪ B = B ∪ A; A ⋂ B = B ⋂ A associativiteit: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(A ⋂ B) ⋂ C) = A ⋂ (B ⋂ C)
distributiviteit: A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C);
A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C)
wetten van De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ⋂ Bc;
(A ⋂ B)c = Ac ∪ Bc verder geldt nog: (Ac)c = A; Uc = Ø; Ø° = U;
A ⊂ Bc ⇔ B ⊂ Ac Men bewijst deze wetten eenvoudig door uit te gaan van de definitie van gelijkheid van twee verzamelingen. Genoemde bewerkingen kan men op voor de hand liggende wijze uitbreiden op meer verzamelingen.
Met behulp van een verzameling kan men op verschillende manieren nieuwe verzamelingen vormen. Zo kan men bij een verzameling A de zgn. machtsverzameling P(A) vormen. Dit is de verzameling van alle deelverzamelingen van A. Zo geldt: P ({1,2,3}) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}, {1,2,3}}.
Men krijgt de machtsverzameling door achtereenvolgens 0,1,2,3, ... elementen uit A te kiezen. Horen er n elementen tot A dan horen er 2ⁿ elementen tot P(A). Een andere manier om uit A een nieuwe verzameling te vormen is de vorming van het cartesische produkt A x A. In het algemeen is het cartesische produkt A x B van de verzamelingen A en B (in deze volgorde) de verzameling geordende paren (a,b) met a ∈ A en b ∈ B. Een deelverzameling van het cartesische produkt A x A heet een relatie. Een bijzonder soort relatie R op A is de equivalentierelatie. Hierbij geldt: (a,a) ∈ R (voor alle a ∈ A); (a,b) ∈ R ⇔ (b,a) ∈ R;
(a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R ⇨ (a,c) ∈ R.
In plaats van (a,b) ∈ R schrijft men wel: a ∽ b. Een equivalentierelatie op een verzameling verdeelt deze verzameling in disjuncte deelverzamelingen (equivalentieklassen) die de gehele verzameling opvullen.
Een zeer belangrijk begrip in de theorie van de verzamelingen is het begrip kardinaalgetal, in feite een generalisatie van het begrip ‘aantal’ bij eindige verzamelingen (d.w.z. verzamelingen met eindig veel elementen). Men voert daartoe een equivalentiedefinitie in voor verzamelingen, waarbij men twee verzamelingen A en B dan en slechts dan equivalent noemt, indien er een één-éénduidig verband bestaat tussen de elementen van A en die van B. Deze equivalentie noemt men gelijkmachtigheid. Zo is de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig met de verzameling van alle even getallen. Op grond hiervan kan men alle verzamelingen indelen in klassen van onderling gelijkmachtige verzamelingen; de klasse waartoe een verzameling A behoort noemt men het kardinaalgetal van A, notatie | A | . Een kardinaalgetal kan eindig zijn, b.v. | {a,b,c} | = 3, maar ook oneindig (zo’n kardinaalgetal noemt men transfiniet). Het ‘kleinste' oneindige kardinaalgetal is dat van de zgn. aftelbare verzameling | | der natuurlijke getallen, dat men in plaats van met | | ook wel aangeeft met (alef nul) of met de gotische letter . Ook de verzameling der rationale getallen is gelijkmachtig met IN en heeft dus als kardinaalgetal.
Hier doet zich het verschijnsel voor dat een verzameling ( ) gelijkmachtig is met een echte deelverzameling van zichzelf ( ); dit is alleen mogelijk bij een oneindige verzameling. De verzameling IR van alle reële getallen is niet aftelbaar maar heeft een ‘groter’ kardinaalgetal dan en hebben, d.w.z. en zijn niet gelijkmachtig, maar is wel gelijkmachtig met een echte deelverzameling van . Men noteert de machtigheid van als of als . Het vermoeden dat er geen kardinaalgetal is tussen en staat bekend als de continuümhypothese; tot op heden is dit vermoeden bewezen noch weerlegd; wel heeft P.J.Cohen in 1963 aangetoond, dat dit vermoeden onafhankelijk is van de axioma’s van de verzamelingenleer. Anderzijds heeft Cantor aangetoond dat kardinaalgetallen onbeperkt kunnen toenemen, want | A | | P(A) |. Met kardinaalgetallen kan men ook rekenen.
