v., de verzameling natuurkundige theorieën aangaande het gedrag van materiedeeltjes op atomaire schaal en de door deze uitgezonden en geabsorbeerde straling.
INLEIDING
De klassieke natuurkunde werd ca. 1900 geconfronteerd met een aantal verschijnselen die zij niet kon verklaren, m.n.:
1. het gedrag van de soortelijke warmte van gassen bij lage temperaturen;
2. de spectrale verdeling van elektromagnetische straling in een volkomen zwarte, holle ruimte;
3. het bestaan van spectraallijnen van atomen en moleculen. De problemen 1 en 2 konden door Planck worden verklaard met zijn quantumhypothese, waarin wordt gesteld dat een elektromagnetische harmonische oscillator alleen energieën kan opnemen of afstaan die een veelvoud zijn van hv (h is de constante van Planck, v de eigenfrequentie). Met de quantumhypothese kan men de stralingswet van Planck afleiden, maar een verklaring van de gepostuleerde eigenschap van de oscillator wordt niet gegeven. Probleem 3 kan geïllustreerd worden aan de hand van het waterstofatoom. Dit bestaat uit een elektron dat zich in het coulombveld van een proton beweegt. Het elektron voert een versnelde beweging uit omdat de bewegingsrichting steeds verandert. Volgens de oude theorie zou het elektron dan eletromagnetische straling moeten uitzenden met een continu spectrum, dus zonder spectraallijnen.
Het elektron zou geleidelijk al zijn energie wegstralen en uiteindelijk in de kern storten, waaruit volgt dat atomen en moleculen geen stabiele configuraties kunnen zijn. Dit is in duidelijke tegenspraak met de werkelijkheid. N.Bohr voegde aan de klassieke mechanica een aantal postulaten toe om te ‘verklaren’ waarom atomen en moleculen toch stabiel zijn. Deze postulaten luiden:
1. elk afgesloten atomair systeem bezit een reeks van zgn. stationaire toestanden, die gekenmerkt worden door een bepaalde waarde van de energie. Bij elke energieverandering kunnen alleen maar overgangen tussen deze toestanden plaatsvinden;
2. bij emissie of absorptie van elektromagnetische straling vindt een overgang tussen stationaire toestanden plaats. Het energieverschil AE tussen deze toestanden en de frequentie v van de elektromagnetische straling worden verbonden door de betrekking: AE = hv, waarbij h de constante van Planck is. Deze theorie, de oude quantummechanica, is met redelijk succes toegepast op het waterstofatoom en de harmonische oscillator. Men heeft er de Planckse quantumhypothese mee kunnen afleiden. Bij ingewikkelder atomen bleven er echter discrepanties met de waarnemingen bestaan.
Ter vervanging van deze quantummechanica ontstonden ca. 1925 de matrixmechanica van W.Heisenberg, M.Born en P.Jordan en de golfmechanica van E.Schrödinger. Dit zijn equivalente formuleringen van de moderne quantummechanica, een geheel nieuwe theorie die niet gebaseerd is op de klassieke natuurkunde.
NIET-RELATIVISTISCHE QUANTUMMECHANICA
Golfmechanica. In de golfmechanica wordt een deeltje beschreven met een golffunctie ψ, een functie die afhangt van de coördinaten x, y, z van het deeltje en van de tijd t: ψ = ψ x, y, z, t). Beschouwt men een infinitesimaal volume-element met volume dxdydz rond het punt met coördinaten x0, yo, Zo (afb. 1). De kans om het deeltje op de tijd t binnen dat volume-elementje te vinden is dan: |ψxoyozot |2dxdydz, waarin | ψ | 2 het absolute kwadraat van het complexe getal ψ is. Omdat men van ψ eerst het absolute kwadraat moet nemen voordat men een grootheid krijgt die fysische betekenis heeft, noemt men ψ dikwijls ‘waarschijnlijkheidsamplitudo’. In de golffunctie zit alle informatie verwerkt, die over het deeltje bestaat.
Wanneer een deeltje door een bepaalde golffunctie wordt beschreven, zegt men, dat het deeltje in een bepaalde quantummechanische toestand zit. Men kan ook een golffunctie invoeren voor een systeem van deeltjes: deze hangt dan af van de coördinaten van alle in het spel zijnde deeltjes.
Het grote verschil met de klassieke mechanica is, dat de quantummechanica alleen statistische uitspraken kan doen: er wordt alleen over kansen gesproken. Men kan zich afvragen of een dergelijke theorie, die alleen maar statistische uitspraken kan doen, wel volledig is. Immers ook in de klassieke mechanica gebruikt men wel statistische methoden, m.n. wanneer men slechts onvolledige informatie over het systeem heeft (b.v. in de statistische mechanica). Er zijn onderzoekers, die van mening zijn, dat ook de statistische beschrijvingswijze van de quantummechanica een weerspiegeling is van een onvolledige kennis van de te beschrijven systemen. Er zouden volgens deze onderzoekers ‘verborgen parameters’ in het spel zijn. Tot op heden is er geen enkele aanwijzing die op het bestaan van dergelijke verborgen variabelen zou duiden.
Het gedrag van een deeltje of een systeem van deeltjes in de tijd wordt beschreven met een bewegingsvergelijking (in de klassieke mechanica is dat de wet van Newton: F = ma); in de golfmechanica de Schrödinger-vergelijking:-h2/2m ∆ ψ + V (x,y,z,t)ψ = -h/i ∂ψ/I ∂ti waarin ∆ staat voor de laplaceoperator: ∆ = (∂2/∂ x2+ ∂2/∂ y2 + ∂ 2/∂z2), h = h/2ℼ . m is de massa van het deelte, V(x,y,z,t) is de potentiaal, die behoort bij het krachtveld, waarin het deeltje zich beweegt. Ook voor een systeem van deeltjes kan men een dergelijke vergelijking opschrijven. Met deze tijd-afhankelijke Schrödingervergelijking kan de golffunctie ѱ op een andere (meestal latere) tijd berekend worden. Voor processen, die stationair in de tijd zijn, kan de tijd-onafhankelijke Schrödinger-vergelijking gebruikt worden die een speciaal geval van de tijd-afhankelijke is: -h2/2m ∆ ѱ + V(x,y,z)ѱ = Eѱ.
ѱ hangt nu alleen van x, y en z af; V mag niet van t afhangen, E is de (scherp bepaalde) energie van het deeltje dat door de golffunctie ѱ wordt beschreven. Deze vergelijking is b.v. van toepassing wanneer men vraagt naar de mogelijke toestanden, die het elektron in een waterstofatoom kan aannemen. Uit de tijd-onafhankelijke Schrödinger-vergelijking volgt dat het deeltje niet elke mogelijke waarde voor de energie kan aannemen. Men kan berekenen (althans in principe, de werkelijke berekening kan zeer gecompliceerd zijn) welke energiewaarden zijn toegestaan; men kan de energieniveaus van een systeem uitrekenen. De golffuncties, die bij de energieniveaus horen, noemt men stationaire golffuncties (meestal spreekt men van stationaire toestanden). Deze toestanden komen overeen met de stationaire toestanden, die in de oude quantummechanica van Bohr zijn gepostuleerd.
Het stelsel energieniveaus van een systeem noemt men het energiespectrum van het systeem. De verschillende energieniveaus worden genummerd door quantumgetallen. Soms is er meer dan één quantumgetal nodig om een niveau te benoemen. Voorbeelden: Voor een eendimensionale harmonische oscillator met eigenfrequentie v (dit is het aantal trillingen dat de oscillator per seconde uitvoert, wanneer deze aan zichzelf wordt overgelaten) worden de energieniveaus beschreven door En = (n + 1/2)hv. Het quantumgetal n neemt de waarden 0, 1, 2,3 ... aan (afb. 2).
Bij een waterstofatoom worden de energieniveaus gegeven door En = -e4.𝜇 /32 h2 ℼ2.1/ℼ2 (E is de lading van het elektron, p, is de massa van het elektron). Het quantumgetal n heet het hoofdquantumgetal en neemt de waarden n = 1, 2, 3 ... aan.
Wanneer men het oorspronkelijke systeem verstoort, krijgt men overgangen tussen de verschillende stationaire toestanden: plaats men b.v. een waterstofatoom in een lichtgolf (d.i. een elektromagnetische verstoring), dan krijgt men overgangen tussen verschillende niveaus. Welke overgangen plaatsvinden kan men uitrekenen met behulp van de storingsrekening. Niet alle mogelijke overgangen tusen stationaire toestanden zijn toegestaan: er gelden selectieregels, die door de quantummechanica worden voorspeld. Als voorbeeld van selectieregels zijn in het spectrum van de eendimensionale geladen harmonische oscillator de toegestane overgangen getekend (afb. 2), wanneer men een lichtgolf op de oscillator laat vallen.
Bij de uitwerking van de tijd-onafhankelijke Schrödinger-vergelijking blijkt dat er bij één energieniveau nog verschillende golffuncties kunnen behoren. In dat geval spreekt men van ontaarding. Zo wordt een stationaire golffunctie van het waterstofatoom door drie quantumgetallen genummerd: het hoofdquantumgetal n = 1, 2, 3 ..., het azimutale quantumgetal / = 0,1,1,2,3 ...,n 1, het magnetische quantumgetal m =-l, 1+1, ..., 0, .... / 1, l.
Uit de tijd-afhankelijke Schrödinger-vergelijking leidt men af, dat er geen spontane schepping of vernietiging van deeltjes plaatsvindt, tenminste zolang men voor V(x,y,z,t) een reële functie neemt. Men kan echter ook een generalisatie van de niet-relativistische quantummechanica geven (veldentheorie), waarin men ook kan werken met situaties waarin er geen behoud is van deeltjes (b.v. bij desintegratie van deeltjes zoals ℼ+ 𝜇+ + v𝜇 enz.).
Een andere conclusie, die men uit de Schrödingervergelijkingen kan trekken, het superpositiebeginsel, zegt het volgende: wanneer een deeltje, dat zich in een potentiaalveld beweegt, in verschillende quantummechanische toestanden kan voorkomen, dan is ook een lineaire combinatie van deze toestanden een mogelijke quantummechanische toestand. In formule: zijn ω1(x,y,z,t) en 𝛽ѱ2 (.x,y,z,t) mogelijke toestanden, dan is ook aѱ1(x,y,z,t) + 𝛽ѱ2 (x,y,z,t) =ѱ(x,y,z,t) een mogelijke toestand (a en 𝛽 zijn willekeurige, complexe constanten). Men mag in het bijzonder voor ѱ1 en Ѱ2 stationaire golffuncties nemen, ѱ is dan echter meestal niet meer stationair. Het superpositiebeginsel is een geheel nieuw begrip dat geen tegenhanger heeft in de klassieke mechanica.
Een ander quantummechanisch effect, dat geen analogen in de klassieke mechanica heeft, is het tunneleffect. Een deeltje opgesloten door een potentiaalbarrière (afb. 4) kan volgens de klassieke mechanica alleen dan over de barrière komen wanneer de energie van het deeltje groter is dan de maximale waarde van de potentiële energie. De quantummechanica leert echter, dat er een van nul verschillende kans is, dat het deeltje over de berg komt ook al is de energie daarvoor onvoldoende. De kans voor het optreden van dit proces is weliswaar zeer klein, maar duidelijk van nul verschillend. Het is in zo’n geval net alsof het deeltje door de barrière is ‘getunneld’. Er zijn evenwel principieel geen meetinstrumenten mogelijk, die kunnen verifiëren of het deeltje zich tijdens het ‘tunnelen’ inderdaad in de berg bevindt. Het tunneleffect is experimenteel waargenomen bij het a-verval van atoomkernen.
Een ander begrip uit de quantummechanica dat vreemd is aan de dagelijkse ervaringswereld, is het complementariteitsbeginsel. Een discussie van het complementariteitsbeginsel maakt een diepgaande studie van het meetproces noodzakelijk. Bohr heeft gesteld dat de analyse van verschijnselen, hoezeer deze ook vreemd mogen zijn aan de klassieke natuurkunde, altijd moet geschieden in termen van begrippen die thuis horen in de klassieke natuurkunde. Immers, wat men in laatste instantie afleest is de stand van een wijzer van een meetinstrument, een macroscopische grootheid. Bij de meetmethode zijn meetobject en meetapparaat gescheiden grootheden. Op miscroscopische schaal moet men meetobjecten en meetapparaat als één systeem opvatten.
Zolang men afziet van meetfouten van de grootteorde van h mag men bij benadering meetobject en meetappraat als gescheiden behandelen. Wanneer men over een object volledige informatie wil hebben, dan is het meestal nodig om verschillende, elkaar aanvullende (complementaire) proeven te doen. Ter illustratie het geval dat één deeltje in het spel is. Als men de plaatscoördinaat van het deeltje meet, dan leert nadere beschouwing, dat men niets over de impuls p van het deeltje kan zeggen. Wil men nadere informatie over de impuls p van het deeltje, dan moet men een aanvullende proef doen. Is echter de impuls p van het deeltje volkomen scherp bepaald, dan is de plaats x van het deeltje niet meer bekend.
Het is principieel onmogelijk om tegelijkertijd plaats en impuls van een deeltje volkomen scherp te bepalen. De variabelen x en p noemt men complementaire variabelen. Het is wél mogelijk om ren p met zekere nauwkeurigheden ∆x en ∆p te meten. De onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg zegt dan dat ∆x-∆p ≧ h/2. Ook de golf-deeltjesdualiteit past in het complementariteitsbeginsel: het golfen deeltjeskarakter wordt gemanifesteerd in elkaar wederzijds uitsluitende experimenten: zo treedt bij verstrooiing van fotonen aan kristallen alleen het golfaspect naar voren, bij het comptoneffect het deeltjesaspect.
De wetten van de klassieke mechanica kunnen afgeleid worden uit de quantummechanica. De grootheden die optreden in de klassieke mechanica zijn gemiddelden van fysische grootheden in een quantummechanische toestand. De wiskundige formulering van het voorgaande wordt gegeven in de theorema’s van Ehrenfest. De klassieke mechanica is goed voor de beschrijving van macroscopische verschijnselen; de discontinuïteiten die karakteristiek zijn voor de quantummechanica zijn daar zo klein, dat de quantummechanica praktisch dezelfde uitkomsten geeft als de klassieke mechanica. Anders geformuleerd: wanneer men in de quantummechanica h naar nul laat gaan, moet men de resultaten van de klassieke mechanica krijgen. Immers voor h 0 heeft men geen quantisatie meer van energie, impulsmoment enz. De eis dat een quantummechanische theorie in de limiet voor h 0 dezelfde resultaten moet leveren als de klassieke mechanica noemt men het correspondentiebeginsel.
Matrixmechanica. De matrixmechanica is ca.1925 ontwikkeld als een kritische uitwerking van de oude quantummechanica. Het doel was een theorie te formuleren waarin alleen waarneembare grootheden optreden, zoals frequenties en intensiteiten van uitgezonden elektromagnetische straling (dit in tegenstelling tot de golfmechanica waar men met het begrip golffunctie werkt, een onwaarneembare grootheid). In deze theorie wordt een fysische grootheid door een ‘matrix’ voorgesteld. Matrices vormen geheel andere rekengrootheden dan die waarmee men gewend was te rekenen in de oude natuurkunde; matrices vormen een niet-commutatieve algebra (d.w.z. ab ≠ ba). De bewegingsvergelijkingen zijn in de matrixmechanica vergelijkingen tussen matrices.
Het correspondentiebeginsel zegt hier dat de bewegingsvergelijkingen tussen de matrices formeel dezelfde vorm moeten hebben als de bewegingsvergelijkingen van de klassieke mechanica. Vervangt men in de bewegingsvergelijkingen de matrices door ‘gewone’ grootheden (d.w.z. commuterende grootheden), dan krijgt men de bewegingsvergelijkingen van de klassieke mechanica. Schrödinger heeft aangetoond dat de golfmechanica en matrixmechanica equivalent zijn. Golfmechanica en matrixmechanica zijn twee speciale gevallen van een zeer algemene formulering van de quantummechanica, die voornamelijk afkomstig is van P.A.M.Dirac (1930).
Deze quantummechanica is alleen van toepassing op niet-relativistische processen. De Schrödingervergelijkingen zijn namelijk niet in overeenstemming met de eisen van de speciale relativiteitstheorie, omdat ze niet invariant zijn onder lorentztransformaties. De hier besproken versie van de quantummechanica kan dus slechts beperkte geldigheid hebben; zij is slechts toepasbaar, wanneer de snelheid van de betrokken deeltjes klein is ten opzichte van de lichtsnelheid. Bij de fysica van de
elementaire deeltjes is hieraan veelal niet voldaan, maar in de atoomen molecuulfysica is de Schrödingervergelijking een goede benadering. RELATIVISTISCHE
QUANTUMMECHANICA.
Ca.1925 hebben Schrödinger, Klein, Gordon e.a. onafhankelijk van elkaar een relativistische formulering van de quantummechanica gegeven. Daarbij trad een grootheid op, die Uhlenbeck en Goudsmit ad hoc in de niet-relativistische quantummechanica hadden moeten invoeren om de waargenomen spectra te kunnen verklaren: de spin. De spin heeft geen tegenhanger in de klassieke theorie. De relativistische vergelijkingen bevatten reeds van begin af aan de spin. Deeltjes met heeltallige spin (d.w.z. 0, 1, 2...) worden beschreven door de KleinGordon-vergelijking. Deeltjes met spin ½ worden beschreven door de Dirac-vergelijking (b.v. elektron, proton, neutron, neutrino).
Ook voor een hogere halftallige spin bestaan relativistische vergelijkingen. De relativistische quantummechanica bevindt zich ten opzichte van de niet-relativistische quantummechanica nog in het beginstadium. Zo zijn er nog allerlei interpretatiemoeilijkheden; er is b.v. geen beschrijving van het relativistische meetproces. Behalve interpretatiemoeilijkheden zijn er ook wiskundige moeilijkheden; voor sommige grootheden berekent men de waarde ‘oneindig’, wat uit fysisch oogpunt niet kan. In enkele gevallen (o.a. de quantumelektrodynamica) beschikt men over een voorschrift, waarmee men uit deze oneindige grootheden een eindig deel kan isoleren, dat juist het fysisch deel van deze grootheid is (renormalisatieprocedure). Genoemde moeilijkheden nemen echter niet weg, dat de relativistische quantummechanica met wisselend succes wordt toegepast op de elementaire deeltjes.
Zij wordt dikwijls gebruikt in de veldentheoretische versie (veldentheorie). [dr.H.A.Ferwerda] LITT. R.Guillemin, The story of quantum mechanics (1968).
