Icosaëdersubstituties - lineaire substituties z = αz + β/yz + δ, die een icosaëdergroep vormen, d. i. een groep, die isomorph is met de groep der 60 icosaëderdraaiïngen of der 60 even permutaties van 5 elementen. Beschrijft men om het icosaëder een bol en brengt men door het middelpunt en de ribben van het icosaëder vlakken, dan snijden deze den bol in bogen van groote cirkels, die den bol in 2 x 60 rechthoekige boldriehoeken verdeelen. Brengt men in ’t hoekpunt O van zulk een driehoek (hoekpunt van 't icosaëder) het raakvlak V aan den bol aan, en projecteert men uit het overstaande hoekpunt P de bolfiguur stereografisch op het raakvlak V, dan ontstaat op het raakvlak V een stelsel cirkeldriehoeken, waarvan er o. a. 10 om O heen liggen. De 5 projecties OA, OB, OC, OD, OE van de ribben OA', OB', OC', OD’, OE’, die in O samenkomen, zijn rechte lijnen.
Men kan nu V als complex vlak beschouwen met O als nulpunt en OA als positieve reëele as. De draaiïng van ’t icosaëder om de middellijn OP over 72° brengt dan een punt Z van ’t vlak naar een punt Z1', zoodanig, dat tusschen de bijbehoorende complexe getallen z en z1 de betrekking z1 = ε z bestaat 2 i π/5, waarbij ε = 5√ 1 = e = cos 2π/5 + i sin 2π/5 = cos 72° + i sin 72°. Met deze vijftallige draaiïng om OP komt dan overeen de cyclische substitutie S1... z1' = ε z van de 5e orde. De draaiïng van het icosaëder om de middellijn, die uitkomt in ’t midden van de ribbe OA' (wier projectie OA is) brengt elk punt Z van ’t vlak naar een punt Z2', zoodanig dat tusschen de bijbehoorende complexe getallen z en z2' de betrekking z2' = -(ε ε4) z + (ε2 ε3)/(ε2 ε3) z + (ε ε4) bestaat.
De draaiing van ’t icosaëder, waarbij O en P verwisseld worden, gaat gepaard met de substitutie z' = 1/z. De 60 substituties, die men krijgt door al deze substituties te combineeren, vormen de groep der icosaëdersubstituties. Er bestaan vergelijkingen, die niet veranderen, wanneer men de onbekende z vervangt door z' volgens een der 60 substituties. Zulk een vergelijking is bijv. f12 ≡ z (z10 + 11 z5 1) = 0. Deze levert de 11 punten O, A, B,... , waarin de 11 hoekpunten O', A', B',... , die het icosaëder behalve P heeft, stereografisch worden geprojecteerd, welke hoekpunten bij de icosaëderdraaiïngen alleen van plaats verwisselen. Een tweede dergelijke vergelijking is H12 ≡ z20 + 228 z15 494 z10 228 z5 1 = 0; deze levert de 20 middelpunten der zijvlakken in stereografische projectie. Een derde vergelijking is T12 ≡ z30 + 522 z25 10005 z20 10005 z10 522 z5 + 1 = 0, welke de middens der ribben levert. De eerste dezer vergelijkingen z (z10 + 11 z5 1) = 0 heet in ’t bijzonder icosaëdervergelijking. Tusschen de linkerleden f12, H12, T12 dezer vergelijkingen bestaat de betrekking: T122 + H123 1728 f125 ≡ 0.
